Dane:

Długość krawędzi sześcianu:  $a$  

Część objętości sześcianu znajdująca się pod wodą:  $k=0,6$  

Gęstość wody:  ${\rho }_w$  

Szukane:

Praca z uwzględnieniem gęstości drewna:  $W_1=?$  

Praca bez znajomości gęstości drewna:  $W_2=?$  

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

gdzie F_g jest siłą ciężkości działającą na klocek, F_w jest siłą wyporu. Zauważmy, że całkowita objętość klocka ma postać:

$V_c=V+V{}^{\prime }\text{, czyli }V=V_c-V{}^{\prime }$  

Z treści zadania wiemy, że:

$V{}^{\prime }=k{V}_c$  

Całkowita objętość sześcianu będzie wynosiła:

$V_c=a^3$  

Objętość zanurzonej części sześcianu będzie miała postać:

$V{}^{\prime }=a^2\left(a-h\right)$  

Z tego wynika, że:

$k{V}_c=V{}^{\prime }$  

$k{a}^3=a^2\left(a-h\right)\mid :a^2$  

$ka=a-h\mid +h-ka$  

$h=a-ka$  

$h=\left(1-k\right)a$  

Korzystając z definicji gęstości masę klocka przedstawimy wzorem:

$m={\rho }_d{V}_c$  

$m={\rho }_d{a}^3$  

gdzie ρ_d jest gęstością drewna.

---

Znamy gęstość drewna

Siłę ciężkości przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_g=mg$  

gdzie F_g jest siłą ciężkości, m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim. Z tego wynika, że siła ciężkości działająca na klocek ma postać:

$F_g=mg$  

$F_g={\rho }_{d}g{a}^3$  

Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=\rho gV$  

gdzie ρ jest gęstość cieczy, w którym znajduje się ciało, g jest przyspieszeniem grawitacyjnym, V jest objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. Z tego wynika, siła wyporu działająca na klocek ma postać:

$F_w={\rho }_{w}gV{}^{\prime }$  

$F_w={\rho }_{w}gk{V}_c$  

$F_w={\rho }_{w}gk{a}^3$  

Z tego wynika, że ciężar ciała w cieczy będzie miał postać:

$Q=F_w-F_g$  

Podczas zanurzania ciała w cieczy siła, z jaka działamy, rośnie w miarę zanurzania od zera do Qx. Wówczas całkowita praca wykonana przy zanurzaniu tego ciała ma postać:

$W=\frac{Q+Q_x}{2}\cdot h$  

gdzie Q jest ciężarem ciała w cieczy, Q_x jest siłą, jaką należy zadziałać na ciało zanurzone w cieczy, h jest głębokością, na jaką zanurzono ciało. Siła jaką należy zadziałać, aby klocek znalazł się pod wodą ma postać:

$Q_x={\rho }_{w}gV$  

$Q_x={\rho }_{w}g\left(V_c-V{}^{\prime }\right)$  

$Q_x={\rho }_{w}g\left(a^3-k{a}^3\right)$  

$Q_x={\rho }_{w}g{a}^3-{\rho }_{w}gk{a}^3$  

Wówczas praca wykonana przy zanurzaniu ma postać:

$W_1=\frac{Q+Q_x}{2}\cdot h$  

$W_1=\frac{F_w-F_g+Q_x}{2}\cdot \left(1-k\right)a$  

$W_1=\frac{{\rho }_{w}gk{a}^3-{\rho }_{d}g{a}^3+{\rho }_{w}g{a}^3-{\rho }_{w}gk{a}^3}{2}\cdot \left(1-k\right)a$  

$W_1=\frac{{\rho }_{w}g{a}^3-{\rho }_{d}g{a}^3}{2}\cdot \left(1-k\right)a$  

$W_1=\frac{1}{2}\left(1-k\right)\left({\rho }_w-{\rho }_d\right)g{a}^3\cdot a$  

$W_1=0,5\left(1-k\right)\left({\rho }_w-{\rho }_d\right)g{a}^4$  

---

Nie znamy gęstości drewna

Siła ciężkości równoważy siłę wyporu. Wówczas otrzymujemy, że gęstość drewna możemy przedstawić w postaci:

$F_g=F_w$  

${\rho }_{d}g{a}^3={\rho }_{w}gk{a}^3\mid :g{a}^3$  

${\rho }_d=k{\rho }_w$  

Wówczas praca wykonana przy zanurzeniu klocka ma postać:

$W_2=0,5\left(1-k\right)\left({\rho }_w-{\rho }_d\right)g{a}^4$

$W_2=0,5\left(1-k\right)\left({\rho }_w-k{\rho }_w\right)g{a}^4$

$W_2=0,5\left(1-k\right)\left(1-k\right){\rho }_{w}g{a}^4$

$W_2=0,5{\left(1-k\right)}^2{\rho }_{w}g{a}^4$