$a)$  

Energię kinetyczną ruchu obrotowego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

gdzie E_kobr jest energia kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Prędkość kątową ciała w ruchu po okręgu przedstawiamy zależnością:

$\omega =\frac{v}{R}$  

gdzie ω jest prędkością kątową, v jest prędkością liniową, R jest promieniem okręgu, po którym porusza się ciało. Moment bezwładności kuli obracającej się wokół osi przechodzącej przez jej środek ma postać:

$I_k=\frac{2}{5}m{R}^2$  

gdzie m jest masą kuli, R jest jej promieniem. Z tego wynika, że energia kinetyczna ruchu obrotowego ma postać:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_k{\omega }^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_k{\left(\frac{v}{R}\right)}^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{\frac{2}{5}m\sout{R^2}\cdot \frac{v^2}{\sout{R^2}}}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{2m{v}^2}{10}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{m{v}^2}{5}$  

Energię kinetyczną ciała w ruchu postępowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas stosunek tych dwóch energii ma postać:

$k_k=\frac{E_k}{E_{k\text{obr}}}$  

$k_k=\frac{\frac{m{v}^2}{2}}{\frac{m{v}^2}{5}}$  

$k_k=\frac{\sout{m{v}^2}}{2}\cdot \frac{5}{\sout{m{v}^2}}$  

$k_k=\frac{5}{2}$  

 

$b)$  

Moment bezwładności walca obracającej się wokół osi przechodzącej przez jego środek ma postać:

$I_w=\frac{1}{2}m{R}^2$  

gdzie m jest masą walca, R jest jego promieniem. Z tego wynika, że energia kinetyczna ruchu obrotowego ma postać:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_w{\omega }^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_w{\left(\frac{v}{R}\right)}^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{\frac{1}{2}m\sout{R^2}\cdot \frac{v^2}{\sout{R^2}}}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{m{v}^2}{4}$  

Wówczas stosunek tych dwóch energii ma postać:

$k_w=\frac{E_k}{E_{k\text{obr}}}$  

$k_w=\frac{\frac{m{v}^2}{2}}{\frac{m{v}^2}{4}}$  

$k_w=\frac{\sout{m{v}^2}}{{\sout{2}}^1}\cdot \frac{{\sout{4}}^2}{\sout{m{v}^2}}$  

$k_w=2$  

 

$c)$  

Moment bezwładności pierścienia obracającego się wokół osi przechodzącej przez jego środek ma postać:

$I_p=m{R}^2$  

gdzie m jest masą pierścienia, R jest jego promieniem. Z tego wynika, że energia kinetyczna ruchu obrotowego ma postać:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_w{\omega }^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{I_w{\left(\frac{v}{R}\right)}^2}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{m\sout{R^2}\cdot \frac{v^2}{\sout{R^2}}}{2}$   

$E_{k\text{obr}}=\frac{m{v}^2}{2}$  

Wówczas stosunek tych dwóch energii ma postać:

$k_p=\frac{E_k}{E_{k\text{obr}}}$  

$k_p=\frac{\frac{m{v}^2}{2}}{\frac{m{v}^2}{2}}$  

$k_p=\frac{\sout{m{v}^2}}{{\sout{2}}^1}\cdot \frac{{\sout{2}}^1}{\sout{m{v}^2}}$  

$k_p=1$