$1.$  

Dane:

$a^{\prime }=\frac{1}{2}a$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$\frac{p^{\prime }}{p}=?$

Rozwiązanie:

Aby obliczyć stosunek ciśnień wywieranych na dno naczyń, wyrazimy każde z nich za pomocą wzoru. Ciśnienie hydrostatyczne wywierane na dno pierwszego naczynia wyrazimy wzorem:

$p=\rho gh$

gdzie:

$p$  - ciśnienie hydrostatyczne wywierane na dno pierwszego naczynia,

$\rho$  - gęstość wody,

$g$  - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$h$  - wysokość słupa wody w pierwszym naczyniu.

Wysokość słupa cieczy w zależności od jej objętości i powierzchni podstawy naczynia możemy zapisać wzorem:

$h=\frac{V}{S}$  

gdzie:

$V$  - objętość wody nalanej do pierwszego naczynia (taka sama, jak objętość wody nalanej do drugiego naczynia),

$S$  - pole powierzchni podstawy pierwszego naczynia.

Podstawą naczynia jest kwadrat, zatem jego pole powierzchni wyrazimy jako:

$S=a^2$

gdzie:

$a$ - długość krawędzi podstawy pierwszego naczynia.

Zatem ciśnienie wywierane na dno pierwszego naczynia zapiszemy jako:

$p=\rho gh$

$p=\frac{\rho gV}{S}$

$p=\frac{\rho gV}{a^2}$

Analogicznie możemy zapisać wyrażenie na ciśnienie wywierane przez wodę na dno drugiego naczynia:

$p^{\prime }=\frac{\rho gV}{S^{\prime }}$

gdzie:

$p^{\prime }$ - ciśnienie wywierane na dno drugiego naczynia,

$S^{\prime }$ - pole powierzchni podstawy drugiego naczynia.

Powierzchnię podstawy drugiego naczynia wyrazimy jako:

$S^{\prime }=a^{\prime 2}$

gdzie:

$a^{\prime }$ - długość krawędzi podstawy drugiego naczynia.

Korzystając z zależności podanej w treści zadania możemy zapisać:

$S^{\prime }={\left(\frac{1}{2}a\right)}^2$

$S^{\prime }=\frac{1}{4}{a}^2$

Zatem:

$p^{\prime }=\frac{\rho gV}{S^{\prime }}$

$p^{\prime }=\frac{\rho gV}{\frac{1}{4}{a}^2}$

$p^{\prime }=\frac{4\rho gV}{a^2}$

Stosunek ciśnień wynosi więc:

$\frac{p^{\prime }}{p}=\frac{\frac{4\rho gV}{a^2}}{\frac{\rho gV}{a^2}}$

$\frac{p^{\prime }}{p}=\frac{4\cancel{\rho gV}}{\cancel{a^2}}\cdot \frac{\cancel{a^2}}{\cancel{\rho gV}}$

$\frac{p^{\prime }}{p}=4$

Odpowiedź: Stosunek ciśnień hydrostatycznych wywieranych na dna naczyń wynosi 4.

 

$\mathbf{b})$   

Szukane:

$\frac{F_{p^{\prime }}}{F_p}=?$

Rozwiązanie:

Aby obliczyć stosunek wartości sił parcia wywieranych na dno naczyń, wyrazimy każdą z nich za pomocą wzoru. Wartość siły parcia wywieranego na dno pierwszego naczynia wyrazimy wzorem:

$F_p=pS$

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia wywieranej na dno pierwszego naczynia,

$p$ - ciśnienie wywierane na dno pierwszego naczynia,

$S$ - pole powierzchni podstawy pierwszego naczynia.

Przy czym pole powierzchni wyrazimy jako:

$S=a^2$

gdzie:

$a$ - długość krawędzi podstawy pierwszego naczynia.

Dla drugiego naczynia możemy zapisać:

$F_{p^{\prime }}=p^{\prime }{S}^{\prime }$

gdzie:

$F_{p^{\prime }}$ - wartość siły parcia wywieranej na dno drugiego naczynia,

$p^{\prime }$ - ciśnienie wywierane na dno drugiego naczynia,

$S^{\prime }$ - pole powierzchni podstawy drugiego naczynia.

Oraz podobnie jak w poprzednim podpunkcie możemy zapisać, że:

 $S^{\prime }=\frac{1}{4}{a}^2$

 Zatem stosunek wartości sił parcia wynosi:

$\frac{F_{p^{\prime }}}{F_p}=\frac{p^{\prime }{S}^{\prime }}{pS}$

$\frac{F_{p^{\prime }}}{F_p}=\frac{p^{\prime }\cdot \frac{1}{4}\cancel{a^2}}{p\cancel{a^2}}$

$\frac{F_{p^{\prime }}}{F_p}=\frac{p^{\prime }}{p}\cdot \frac{1}{4}$

W poprzednim podpunkcie obliczyliśmy, że:

$\frac{p^{\prime }}{p}=4$

Zatem:

 $\frac{F_{p^{\prime }}}{F_p}=4\cdot \frac{1}{4}=1$

Odpowiedź: Stosunek wartości sił parcia działających na dna naczyń wynosi 1.

 

$2.$  

Szukane:

$h=?$

Rozwiązanie:

Wartość siły parcia na dno naczynia i na ścianę boczną mają być jednakowe, zatem możemy zapisać:

$F_d=F_{\acute{s}}$

gdzie:

$F_d$  - wartość siły parcia działającej na dno naczynia,

$F_{\acute{s}}$ - wartość siły parcia działającej na ścianę boczną.

Wartość siły parcia działającej na dno naczynia wyrazimy jako:

$F_d=p_d{S}_d$

gdzie:

$p_d$ - ciśnienie wywierane na dno naczynia,

$S_d$ - pole powierzchni dna naczynia.

Pole powierzchni podstawy wyrazimy jako:

$S_d=a^2$

gdzie:

$a$ - długość krawędzi podstawy naczynia.

Ciśnienie wywierane na dno możemy zapisać za pomocą wzoru:

$p_d=\rho gh$

gdzie:

$p_d$  - ciśnienie hydrostatyczne wywierane na dno naczynia,

$\rho$  - gęstość wody,

$g$  - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$h$  - wysokość słupa wody w naczyniu.

Wartość siły parcia działającej na ścianę boczną wyrazimy jako:

$F_{\acute{s}}=p_{\acute{s}}{S}_{\acute{s}}$

gdzie:

$p_{\acute{s}}$ - ciśnienie wywierane na ścianę boczną,

$S_{\acute{s}}$ - pole powierzchni ściany bocznej.

Siła parcia działa tylko na tę część ściany, która jest zanurzona pod powierzchnią wody. Oznacza to, że pole powierzchni ściany bocznej będzie w tym przypadku polem jej zanurzonej części, czyli części o wymiarach równych krawędzi podstawy i wysokości słupa cieczy. Pole powierzchni ściany bocznej wyrazimy więc jako:

$S_{\acute{s}}=ah$

Ciśnienie wywierane na ścianę boczną jest różne na różnych głębokościach. Im bliżej dna, tym ciśnienie jest większe. Możemy je jednak uśrednić - średnia wartość będzie równa wartości ciśnienia w połowie wysokości zanurzonej części ściany, zatem:

$p_{\acute{s}}=\rho g\frac{1}{2}h$

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na wysokość słupa cieczy:

$F_d=F_{\acute{s}}$

$p_d{S}_d=p_{\acute{s}}{S}_{\acute{s}}$

$\rho gh\cdot a^2=\rho g\frac{1}{2}h\cdot ah$

$\rho gh{a}^2=\frac{1}{2}\rho g{h}^{2}a|:\rho ga$

$ha=\frac{1}{2}{h}^2|:h$

$a=\frac{1}{2}h|\cdot 2$

$h=2a$

Odpowiedź: Naczynie należy napełnić do wysokości równej podwojonej długości krawędzi podstawy 2 a.