Dane:

$m=1\text{kg}$  

$x=0,1\text{m}$  

$A=0,05\text{m}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

 

$1.$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że wartość współczynnika sprężystości wynosi:

$k=100\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Na ciężarek zawieszony na sprężynie działają dwie siły:

• siła ciężkości skierowana pionowo i zwrócona w dół, 
• siła sprężystości skierowana pionowo i zwrócona w górę.

 W położeniu równowagi siły te równoważą się:

$F_x=F_c$

gdzie:

$F_x$ - wartość siły sprężystości, 

$F_c$ - wartość siły ciężkości.

Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem:

$F_x=kx$

gdzie: 

$k$ - współczynnik sprężystości układu, 

$x$ - wydłużenie rozciągniętej sprężyny. 

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Porównując te wzory otrzymamy:

$F_x=F_c$

$kx=mg|:x$

$k=\frac{mg}{x}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k=\frac{1\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,1\text{m}}=\frac{10\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,1\text{m}}=$

$=\frac{10\text{N}}{0,1\text{m}}=100\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Zatem $k=100\frac{\text{N}}{\text{m}}$, co należało wykazać.

 

$2.$  

Dane w podpunkcie:

$k=100\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Szukane:

$T=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie okresu drgań ciężarka. W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań, 

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie, 

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny. 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{1\text{kg}}{100\frac{\text{N}}{\text{m}}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{1\cancel{\text{kg}}}{100\frac{\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\sout{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}{\sout{\text{m}}}}}=$

$=6,28\cdot \sqrt{0,01{\text{s}}^2}=6,28\cdot 0,1\text{s}=0,628\text{s}$

Odpowiedź: Okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie wynosi 0,628 s.