Dane:

$d=1,1m$   

$m=3,5\text{tony}=3500kg$  

$f_1=\frac{20000\text{obr}}{\min }=\frac{20000\text{obr}}{60s}=\frac{1000}{3}Hz$   

$f_2=\frac{10000\text{obr}}{\min }=\frac{10000\text{obr}}{60s}=\frac{1000}{6}Hz$  

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$  

 

$1.$  

Wiemy, że promień jest połową średnicy:

$r=\frac{1}{2}d$  

Energię kinetyczną ruchu obrotowego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

gdzie E_kobr jest energia kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Prędkość kątową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\omega =2\pi f$  

gdzie ω jest prędkością kątową, f jest częstotliwością. Z tego wynika, że energia kinetyczna ruchu obrotowego koła zamachowego ma postać:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{\frac{1}{2}m{r}^2{\left(2\pi f_1\right)}^2}{2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{m{r}^2{\left(2\pi f_1\right)}^2}{4}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{m{r}^{2}4{\pi }^2{f}_1^2}{4}$  

$E_{k\text{obr}}={\pi }^{2}m{r}^2{f}_1^2$  

$E_{k\text{obr}}={\pi }^{2}m{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2{f}_1^2$  

$E_{k\text{obr}}={\pi }^{2}m\frac{1}{4}{d}^2{f}_1^2$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_1^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k\text{obr}}=\frac{1}{4}\cdot {3,14}^2\cdot 3500kg\cdot {\left(1,1m\right)}^2\cdot {\left(\frac{1000}{3}Hz\right)}^2=$  

$=\frac{1}{4}\cdot 9,8596\cdot 3500kg\cdot 1,21m^2\cdot \frac{1000000}{9}H{z}^2\approx$  

$\approx 0,25\cdot 9,8596\cdot 3500kg\cdot 1,21m^2\cdot 111111,11{\left(\frac{1}{s}\right)}^2\approx$  

$\approx 0,25\cdot 9,8596\cdot 3,5\cdot {10}^{3}kg\cdot 1,21m^2\cdot 1,11\cdot {10}^5\frac{1}{s^2}\approx$  

$\approx 11,587\cdot {10}^{8}kg\cdot \frac{m^2}{s^2}=1,1587\cdot {10}^{9}J\approx 1,16\cdot {10}^{9}J$  

 

$2.$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że początkową energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_{k\text{obr}1}=\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_1^2$  

 Z tego wynika, że po zmianie obrotów energie kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_{k\text{obr}2}=\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_2^2$  

Wyznaczmy zmianę energii:

$\Delta E=E_{k\text{obr}1}-E_{k\text{obr}2}$  

$\Delta E=\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_1^2-\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_2^2$  

$\Delta E=\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2\left(f_1^2-f_2^2\right)$  

Obliczamy jaka część początkowej energii kinetycznej koła została wykorzystana na zmniejszenie prędkości obrotów:

$x=\frac{\Delta E}{E_{k\text{obr}1}}$  

$x=\frac{\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2\left(f_1^2-f_2^2\right)}{\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2{f}_1^2}$  

$x=\frac{\sout{\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2}\left(f_1^2-f_2^2\right)}{\sout{\frac{1}{4}{\pi }^{2}m{d}^2}{f}_1^2}$  

$x=\frac{f_1^2-f_2^2}{f_1^2}$  

$x=\frac{f_1^2}{f_1^2}-\frac{f_2^2}{f_1^2}$  

$x=1-\frac{f_2^2}{f_1^2}$  

$x=1-{\left(\frac{f_2}{f_1}\right)}^2$  

$x=1-{\left(\frac{\frac{1000}{6}Hz}{\frac{1000}{3}Hz}\right)}^2$  

$x=1-{\left(\frac{3}{6}\right)}^2$  

$x=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$  

$x=1-\frac{1}{4}$  

$x=\frac{3}{4}$  

Oznacza to, że około  $\frac{3}{4}$   początkowej energii zostało wykorzystane na zmniejszenie obrotów koła.

 

$3.$  

Większa część masy koła A znajduje się dalej od osi obrotu niż w przypadku koła B. Z tego wynika, że koło A ma większy moment bezwładności od koła A:

$I_A>I_B$  

Ponieważ energia kinetyczna jest wprost proporcjonalna do momentu bezwładności, to energia kinetyczna koła A jest większa od energii kinetycznej koła B:

$E_{kA}>E_{kB}$  

Odpowiedź:

Energia kinetyczna koła A jest większa od energii kinetycznej koła B.