Dane:

$m=25g=0,025kg$  

$R=25mm=0,025m$  

$r=10mm=0,01m$  

$D=15mm=0,015mm$  

$d=4mm=0,004m$  

 

$\text{1.}$   

Wiemy, że moment bezwładności walca przedstawiamy zależnością:

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$  

gdzie m jest masą walca, r jest promieniem obracającego się walca.

Moment bezwładności układu ciał  możemy przedstawić zależnością:

$I=\sum _{i=1}^n{m}_i{R}_i^2$  

gdzie m_i jest masą poszczególnego ciała, R_i jest odległością tego ciała od osi obrotu.

Na układ składają się dwa takie same walce o takiej samej masie i promieniu. Z tego wynika, że moment bezwładności tego układu możemy przedstawić zależnością:

$I=\frac{1}{2}m{R}^2+\frac{1}{2}m{R}^2$  

$I=m{R}^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=0,025kg\cdot {\left(0,025m\right)}^2=0,025kg\cdot 0,000625m^2=$   

$=2,5\cdot {10}^{-2}kg\cdot 6,25\cdot {10}^{-4}{m}^2=15,625\cdot {10}^{-6}kg\cdot m^2\approx$   

$\approx 16\cdot {10}^{-6}kg\cdot m^2$   

 

$2.$  

W chwili puszczania przez ucznia krążek posiadał pewną energię potencjalną, ponieważ znajdował się na pewnej wysokości h. Korzystając z zasady zachowania energii wiemy, że energia potencjalna krążka została zamieniona na energię kinetyczną ruchu obrotowego jo-jo i ruchu postępowego tego jo-jo. Energię potencjalną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$  

gdzie E_p jest energią potencjalną ciała o masie m znajdującego się na wysokości h, na które działa przyspieszenie ziemskie g.

Wysokość z jakiej spada jo-jo możemy przedstawić wzorem na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$h=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie h jest drogą jaką przebyło jo-jo, a jest przyspieszeniem z jakim się poruszało, t jest czasem ruchu jo-jo.

Energia potencjalna całego jo-jo będzie miała postać:

$E_p=Mgh$   

$E_p=Mg\frac{1}{2}a{t}^2$   

$E_p=\frac{1}{2}Mga{t}^2$   

Energię kinetyczną ruchu obrotowego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

gdzie E_kobr jest energia kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Zależność prędkości kątowej od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{v}{r}$  

gdzie ω jest prędkością kątową, v jest prędkością liniową, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Jo-jo porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v=at$  

gdzie v jest prędkością ciała, a jest przyspieszeniem z jakim poruszało się to ciało, t jest czasem ruchu ciała. Wówczas otrzymujemy, że energia kinetyczna ruchu obrotowego ciała ma postać:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\left(\frac{v}{r}\right)}^2}{2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{I\frac{v^2}{r^2}}{2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{v}^2}{2r^2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\left(at\right)}^2}{2r^2}$  

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{a}^2{t}^2}{2r^2}$

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Ponieważ jo-jo porusza się ruchem przyspieszonym, to energia kinetyczna ruchu postępowego tego ciała będzie miała postać:

$E_k=\frac{M{v}^2}{2}$

$E_k=\frac{M{\left(at\right)}^2}{2}$

$E_k=\frac{M{a}^2{t}^2}{2}$

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy przyspieszenie jo-jo wynosi:

$E_k+E_{k\text{obr}}=E_p$  

$\frac{M{a}^2{t}^2}{2}+\frac{I{a}^2{t}^2}{2r^2}=\frac{1}{2}Mga{t}^2\mid \cdot 2$  

$M{a}^2{t}^2+\frac{I}{r^2}{a}^2{t}^2=Mga{t}^2\mid :a{t}^2$  

$Ma+\frac{I}{r^2}a=Mg$  

$a\left(M+\frac{I}{r^2}\right)=Mg\mid :\left(M+\frac{I}{r^2}\right)$  

$a=\frac{M}{M+\frac{I}{r^2}}g$