Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na wartość maksymalnej prędkości, jaką osiągnie kulka opadająca w wodzie, przy wykorzystaniu zmiennych $r$, $\eta$, ${\rho }_m$ i ${\rho }_w$ oraz stałych fizycznych.

Wiemy, że kulka porusza się ruchem niejednostajnie przyspieszonym tak długo, aż działające na nią siły się zrównoważą. Siła ciężkości i siła wyporu mają przez cały czas stałe wartości, natomiast im szybciej kulka się porusza, tym większa jest wartość siły oporu. W efekcie wartość siły wypadkowej dąży do zera, podobnie jak wartość przyspieszenia. Zaznaczmy na rysunku siły działające na kulkę w chwili, gdy osiąga ona maksymalną szybkość, czyli w chwili, gdy działające na nią siły się równoważą:

gdzie:

${\vec{F}}_g$ - siła ciężkości,

${\vec{F}}_w$ - siła wyporu,

${\vec{F}}_o$ - siła oporu ruchu.

Zgodnie z powyższymi rozważaniami oraz rysunkiem pomocniczym możemy zapisać:

$F_g=F_o+F_w$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$F_o$ - wartość siły oporu.

Wartość siły ciężkości wyrazimy przy użyciu wzoru:

$F_g=mg$

gdzie:

$m$ - masa kulki,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wartość siły wyporu przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_w=\rho {}_{w}gV$  

gdzie:

${\rho }_w$ - gęstość cieczy, w której zanurzone jest ciało, czyli gęstość wody,

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości zanurzonej części ciała.

Zgodnie z treścią zadania, wartość siły oporu cieczy przedstawiamy wzorem:

$F_o=6\pi r\eta v$  

gdzie:

$r$ - promień kuli,

$\eta$ - współczynnik lepkości cieczy,

$v$ - szybkość, z jaką porusza się kulka.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie opisujące wartość prędkości:

$F_g=F_o+F_w$

$mg=6\pi r\eta v+\rho {}_{w}gV|-\rho {}_{w}gV$

$mg-\rho {}_{w}gV=6\pi r\eta v|:6\pi r\eta$

$\frac{mg-\rho {}_{w}gV}{6\pi r\eta }=v$

$v=\frac{mg-\rho {}_{w}gV}{6\pi r\eta }$

W uzyskanym wzorze występują wielkości, których nie znamy, czyli masa oraz objętość kulki. Wilkości te musimy wyrazić przy użyciu zmiennych, które zostały podane w zadaniu. 

Objętość kuli możemy przedstawić za pomocą  wzoru:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$   

Korzystając z definicji gęstości wyznaczymy natomiast wzór na masę kulki:

${\rho }_m=\frac{m}{V}$

gdzie:

${\rho }_m$ - gęstość metalu, z którego wykonana jest kulka.

Zatem:

${\rho }_m=\frac{m}{V}|\cdot V$

$V{\rho }_m=m$

$m=V{\rho }_m$

Wstawiamy wzór na objętość:

$m=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_m$

Wstawiamy uzyskane wyrażenia do wzoru na szybkość kulki:

$v=\frac{mg-\rho {}_{w}gV}{6\pi r\eta }$

$v=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{m}g-\rho {}_{w}g\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{6\pi r\eta }$

$v=\frac{\frac{4}{3}\cancel{\pi }{r}^{\cancel{3}2}g\left({\rho }_m-\rho {}_w\right)}{6\cancel{\pi }\cancel{r}\eta }$

$v=\frac{2r^{2}g\left({\rho }_m-\rho {}_w\right)}{9\eta }$

$v=\frac{2r^{2}g}{9\eta }\left({\rho }_m-{\rho }_w\right)$

Maksymalną wartość prędkości jaką osiągnie kulka opadająca w wodzie można obliczyć korzystając z wzoru:

$v=\frac{2r^{2}g}{9\eta }\left({\rho }_m-{\rho }_w\right)$