Dane:

$r=10\mathrm{cm}=0,1\mathrm{m}$   

 

$1.$  

Dane:

$\mu =0,01$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$T=?$

Rozwiązanie:

Podczas ruchu po okręgu w układzie nieinercjalnym pojawia się siła odśrodkowa, która zwrócona jest na zewnątrz okręgu. To ta siła będzie powodowała zsuwanie się szklanki z talerza, jeżeli okres obrotu będzie zbyt krótki. Przy wolniejszym obrocie talerza, siła tarcia będzie równoważyć siłę odśrodkową, zapobiegając zsuwaniu się szklaneczki. Zatem minimalny okres obrotu, przy którym szklaneczka nie zsunie się z talerza odpowiada sytuacji, w której siła odśrodkowa jest równoważona przez siłę maksymalnego tarcia statycznego:

$F_{\text{od}}=T_{\max }$

gdzie:

$F_{\text{od}}$ - wartość siły odśrodkowej,

$T_{\max }$ - wartość siły tarcia statycznego.

Siła tarcia statycznego działa na ciało będące w w spoczynku i zwrócona jest przeciwnie do wektora siły usiłującej wprawić ciało w ruch. Wartość siły tarcia statycznego jest równa wartości siły przyłożonej do ciała, ale nie może przekroczyć wartości granicznej:

$T_{\max }=\mu F_{\text{N}}$

gdzie:

$\mu$ - współczynnik tarcia statycznego,

$F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

Siła nacisku będzie w tym przypadku równa sile ciężkości szklani, więc wyrazimy ją wzorem:

$F_{\text{N}}=mg$

gdzie:

$m$ - masa szklaneczki,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wartość odśrodkowej siły bezwładności możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{od}}=\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej szklaneczki, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się szklaneczka. 

 Zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Z kolei wartość prędkości kątowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres.

Korzystając z powyższych zależności wyznaczamy wzór na okres:

$F_{\text{od}}=T_{\max }$

$\frac{m{v}^2}{r}=\mu F_{\text{N}}$

$\frac{\cancel{m}{\left(\omega r\right)}^2}{r}=\mu \cancel{m}g$

$\frac{{\omega }^2{r}^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}=\mu g$

${\omega }^{2}r=\mu g$

${\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^{2}r=\mu g$

$\frac{4{\pi }^2}{T^2}\cdot r=\mu g|\cdot T^2$

$4{\pi }^{2}r=T^2\mu g|:\mu g$

$\frac{4{\pi }^{2}r}{\mu g}=T^2|\sqrt{}$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^{2}r}{\mu g}}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{\mu g}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{0,1\mathrm{m}}{0,01\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{0,1\cancel{\mathrm{m}}}{0,1\frac{\cancel{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=6,28\cdot \sqrt{1{\mathrm{s}}^2}=6,28\cdot 1\mathrm{s}=6,28\mathrm{s}$

Odpowiedź: Okres obrotu talerza musiałby wynosić co najmniej 6,28 s.

 

$2.$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności wartości siły odśrodkowej od promienia okręgu, po jakim porusza się szklanka. Wiemy, że wartość siły odśrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{od}}=\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie:

$F_{\text{od}}$ - wartość siły odśrodkowej,

$m$ - masa szklaneczki,

$v$ - wartość prędkości liniowej szklaneczki, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się szklaneczka. 

W powyższym wzorze masa jest wielkością stałą, natomiast szybkość liniowa zmienia się wraz z odległością od środka okręgu. Aby wykonać wykres zależności wartości siły od promienia, musimy sprowadzić wzór do takiej postaci, aby jedyną zmienną był promień. Wiemy, że każdy punkt talerza obraca się z taką samą częstotliwością, wyznaczmy więc zależność wartości siły odśrodkowej od promienia za pomocą częstotliwości obrotu i masy obracającego się ciała (szklaneczki z wodą). Zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Prędkość kątową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\omega =2\pi f$

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$f$ - częstotliwość obrotu talerza.

 Zatem:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$

$F_{od}=\frac{m{\left(\omega r\right)}^2}{r}$  

$F_{od}=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{r}$   

$F_{od}=m{\omega }^{2}r$  

$F_{od}=m{\left(2\pi f\right)}^{2}r$  

$F_{od}=m4{\pi }^2{f}^{2}r$   

$F_{od}=4{\pi }^{2}m{f}^{2}r$   

Korzystając z powyższego wzoru możemy stwierdzić, że wartość siły odśrodkowej jest wprost proporcjonalna do promienia okręgu, po którym porusza się szklanka. Wszystkie pozostałe wielkości we wzorze to stałe, dlatego wykres będzie funkcją liniową. Wykres zaczyna się w początku układu współrzędnych, ponieważ dla zerowego promienia siła odśrodkowa nie występuje.

 Odpowiedź: 

Szkicujemy wykres: