$1.$  

Dane:

$m=12,56\cdot {10}^{29}\mathrm{kg}$  

$\rho =3\cdot {10}^{17}\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$  

Szukane:

$r=?$

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że gwiazda neutronowa jest kulą. Wówczas jej objętość wyrazimy wzorem:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$  

gdzie:

$V$ - objętość gwiazdy,

$\pi$ - liczba π,

$r$ - promień gwiazdy.

Korzystając z definicji gęstości otrzymujemy, że objętość gwiazdy neutronowej możemy zapisać wzorem:

$V=\frac{m}{\rho }$  

gdzie:

$m$ - masa gwiazdy,

$\rho$ - gęstość gwiazdy.

Z tego wynika, że promień gwiazdy neutronowej można wyrazić wzorem:

$V=\frac{m}{\rho }$  

$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{m}{\rho }\mid \cdot \frac{3}{4}$  

$\pi r^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{m}{\rho }\mid :\pi$  

$r^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{m}{\rho }\cdot \frac{1}{\pi }\mid \sqrt[3]{}$  

$r=\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \frac{m}{\rho }\cdot \frac{1}{\pi }}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \frac{12,56\cdot {10}^{29}\cancel{\mathrm{kg}}}{3\cdot {10}^{17}\frac{\cancel{\mathrm{kg}}}{{\mathrm{m}}^3}}\cdot \frac{1}{3,14}}\approx$

$\approx \sqrt[3]{0,75\cdot 4,18667\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^3\cdot 0,31847}=$  

$\approx \sqrt[3]{0,9999965\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^3}\approx \sqrt[3]{1\cdot {\left({10}^4\right)}^3{\mathrm{m}}^3}=$

$={10}^4\mathrm{m}$  

Odpowiedź: Promień gwiazdy neutronowej wynosi około 10⁴ m.

 

$2.$  

Dane:

$m=12,56\cdot {10}^{29}\mathrm{kg}$

$r=1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{kg}}^2}$.

Szukane:

$v_{II}=?$

Rozwiązanie:

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką należy nadać ciału na powierzchni ciała niebieskiego (o promieniu R), aby mogło się ono oddalić nieskończenie daleko od tego ciała. Przedstawiamy ją wzorem:

$v_{II}=\sqrt{\frac{2Gm}{r}}$  

gdzie:

$v_{II}$ - wartość drugiej prędkości kosmicznej,

$G$ - stała grawitacji,

$m$ - masa ciała niebieskiego,

$r$ - promień ciała niebieskiego.

Obliczmy wartość II prędkości kosmicznej dla tego obiektu wstawiając dane liczbowe:

$v_{II}=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^{\cancel{2}}}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\cancel{2}}}\cdot 12,56\cdot {10}^{29}\cancel{\mathrm{k}\mathrm{g}}}{{10}^3\cancel{\mathrm{m}}}}=$  

$=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\cancel{\mathrm{k}\mathrm{g}}\cdot \frac{\mathrm{m}}{s^2}\cdot \mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{k}\mathrm{g}}}\cdot 12,56\cdot {10}^{29}}{{10}^3}}=$

$=\sqrt{\frac{167,5504\cdot {10}^{18}\frac{{\mathrm{m}}^2}{s^2}}{{10}^3}}\approx \sqrt{\frac{16,755\cdot {10}^{19}}{{10}^3}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=\sqrt{16,755\cdot {10}^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 4,09\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

Zauważmy, że druga prędkość kosmiczna dla tego obiektu ma wartość większą od prędkości światła. Z tego wynika, że światło nie może "uciec" z tego obiektu, czyli może on być czarną dziurą

Odpowiedź: Druga prędkość kosmiczna dla tego obiektu ma wartość około 4,09⋅10⁸ m/s.