Ze szczytu wieży o wysokości...- Zadanie Zadanie 61.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$h = 40 m$

$x = 100 m$

$h^{'} = \frac{1}{4} h$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$1.$

Uzasadnienie:

Zadaniem naszym jest naszkicowane toru ruchu strzały oraz narysowanie wektora prędkości strzały w chwili, gdy uderza ona w ścianę. Zauważmy, że strzale nadano prędkość $v_{0}$ w kierunku poziomym. Oznacza to, że mamy do czynienia z rzutem poziomym.

W czasie ruchu ciała rzuconego poziomo prędkość ciała ulega zmianie i jest wypadkową składowych: poziomej i pionowej. Szybkość początkowa, w kierunku poziomym odpowiada składowej poziomej prędkości tego ciała:

$v_{x} = v_{0}$

gdzie:

$v_{x}$ - wartość składowej poziomej prędkości ciała,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało.

Natomiast składowa pionowa prędkości zmienia się ze względu na przyspieszenie ziemskie, czyli ma wartość:

$v_{y} = g t$

gdzie:

$v_{y}$ - wartość składowej pionowej prędkości ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas ruchu ciała.

Na strzałę będzie działać zwrócona pionowo w dół siła grawitacji, dlatego będzie się ona przemieszczać w prawo, obniżając jednocześnie wysokość lotu. Wektor prędkości w kierunku poziomym $v_{x}$ będzie cały czas jednakowy, natomiast w miarę trwania ruchu, strzała będzie posiadać również coraz większą prędkość w kierunku pionowym $v_{y}$ , zwróconą w dół. Jej prędkość wypadkowa $v$ będzie stanowić sumę wektorową tych dwóch prędkości:

$v = v_{x} + v_{y}$

Tor ruchu w rzucie poziomym ma kształt paraboli. Rysujemy więc przybliżony tor ruchu strzały:

Następnie, w miejscu uderzenia w ścianę, rysujemy wektor prędkości $v_{0}$ o tej samej długość i tym samym kierunku (równolegle do podłoża).

Teraz rysujemy linię przerywaną, prostopadłą do podłoża, która przechodzi przez koniec narysowanego wektora prędkości $v_{0}$ oraz styczną do toru ruchu strzały w punkcie uderzenia w ścianę.

Ostatecznie rysujemy wektor prędkości $v$ , którego punkt początkowy jest punktem uderzenia strzały w ścianę, a punktem końcowym jest punkt przecięcia narysowanych linii przerywanych.

Odpowiedź:

Rysujemy tor ruchu oraz wektor prędkości $v$ w chwili uderzenia w ścianę:

$2.$

Szukane:

$v_{0} = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości prędkości początkowej strzałki. Z rozważań w podpunkcie 1. zadania wiemy, że rozważany ruch strzałki, to rzut poziomy.

$v_{x} = v_{0}$

gdzie:

$v_{x}$ - wartość składowej poziomej prędkości ciała,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało.

Oznaczmy (dla ułatwienia) wektor prędkości poziomej $v_{x}$ strzały w trakcie lotu na rysunku:

Strzała w kierunku poziomym porusza się ze stałą prędkością, czyli ruchem jednostajnym. Drogę, jaką przebywa ciało, w ruchu jednostajnym opisuje wzór:

$s = v t$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu.

W przypadku rozważanej przez nas strzały mamy oraz przyjmując odpowiednie oznaczenia, zapiszemy:

$s = v_{x} t$

Zakładamy, że strzała w odległości $x$ od wieży (w kierunku poziomym) uderzyła w ścianę. Wówczas droga $s$ , jaką przebywa strzała w kierunku poziomym, wynosi:

$s = x$

$x = v_{x} t$

Natomiast składowa pionowa prędkości zmienia się ze względu na przyspieszenie ziemskie, czyli ma wartość:

$v_{y} = g t$

gdzie:

$v_{y}$ - wartość składowej pionowej prędkości ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas ruchu ciała.

Zauważmy, że wartość prędkości strzały w kierunku pionowym zwiększa się z czasem $t$ . Przyspieszenie, z jakim porusza się strzała w kierunku pionowym, est stałe:

$a = g$

Oznacza to, że strzała w kierunku pionowym porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Narysujmy na rysunku wektor prędkości pionowej $v_{y}$ :

Drogę, jaką przebywa ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, opisuje wzór:

$s = v_{p} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{p}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$t$ - czas ruchu.

W rzucie poziomym prędkość początkowa ciała w kierunku pionowym jest równa zero. Wówczas droga, jaką przebywa ciało w kierunku pionowym, opisuje wzór:

$s = \frac{1}{2} g t^{2}$

Teraz rozważmy tor ruchu ciała w kierunku pionowym i poziomym.

W kierunku poziomym przyjmujemy, że ciało porusza się od punktu początkowego równego zero:

$x_{0} = 0$

Oś $x$ , która opisuje położenie ciała w kierunku poziomym, jest w naszym przypadku wzdłuż podłoża. Strzała w kierunku poziomym porusza się ze stałą prędkością, zatem położenie strzały w kierunku poziomym opisuje wzór:

$x (t) = v_{x} t$

$x (t) = v_{0} t$

Natomiast w kierunku pionowym sytuacja jest inna. Przyjmujemy, że punkt początkowy ciała w kierunku poziomym znajduje się na wysokości $h$ , zatem:

$y_{0} = h$

Z rysunku odczytujemy, że strzała (w kierunku pionowym) porusza się w dół. Drogę, jaką przebywa w tym kierunku, opisuje wzór:

$s = \frac{1}{2} g t^{2}$

Wówczas położenie strzały w kierunku pionowym opiszemy wzorem:

$y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2}$

Mamy więc dwa wzory, które opisują położenie strzały w chwili $t$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x (t) y (t) = v_{0} t = h - \frac{1}{2} g t^{2}$

Przekształcamy pierwsze równanie tak, aby otrzymać wzór na czas:

$v_{0} t = x ∣ : v_{0}$

$t = \frac{x}{v _{0}}$

Podstawiamy powyższy wzór do drugiego równania:

$y = h - \frac{1}{2} g (\frac{x}{v _{0}})^{2}$

$y = h - \frac{1}{2} g \frac{x ^{2}}{v _{0}^{2}}$

$y = h - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

Widzimy, że tor ruchu w kierunku pionowym ciała w rzucie pionowym przedstawimy wzorem:

gdzie:

$y (x)$ - położenie pionowe ciała względem początku obranego układu odniesienia,

$x$ - położenie w poziomie ciała względem początku obranego układu odniesienia,

$h$ - wysokość początkowa, z jakiej wyrzucono ciało,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała.

Możemy zapisać to równanie dla punktu, w którym strzała uderzyła w ścianę, ponieważ wówczas znamy zarówno jej odległość w poziomie od miejsca rozpoczęcia ruchu, jak i wysokość, na jakiej się znajduje. Zatem:

$h^{'} = h - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

gdzie:

$h^{'}$ - wysokość, na jakiej strzała uderzyła w ścianę.

Korzystamy z zależności podanej w treści zadania i wyznaczamy wzór na szybkość początkową:

$\frac{1}{4} h = h - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

$\frac{1}{4} h - h = - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

$- \frac{3}{4} h = - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} ∣ \cdot (- 1)$

$\frac{3}{4} h = \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} \cdot v_{0}^{2}$

$\frac{3}{4} h v_{0}^{2} = \frac{g x ^{2}}{2} : \frac{3}{4} h$

$v_{0}^{2} = \frac{g x ^{2}}{2} : \frac{3 h}{4}$

$v_{0}^{2} = \frac{g x ^{2}}{2 ^{1}} \cdot \frac{4 ^{2}}{3 h}$

$v_{0}^{2} = \frac{2 g x ^{2}}{3 h}$

$v_{0} = \frac{2}{3} \frac{g x ^{2}}{h}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i obliczamy:

$v_{0} = \frac{2}{3} \cdot \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 100 m ) ^{2}}{40 m} =$

$v_{0} = \frac{2}{3} \cdot \frac{10 \cdot 10 000}{40} \frac{\frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{m} =$

$v_{0} = \frac{2}{3} \cdot \frac{100 00 0}{4 0} \frac{m ^{3^{1}}}{s ^{2}} \cdot \frac{1}{m} =$

$v_{0} = \frac{20 000}{3 \cdot 4} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} =$

$v_{0} = \frac{20 000}{12} \frac{m}{s} =$

$v_{0} \approx 1667 \frac{m}{s} \approx 40, 8 \frac{m}{s}$

Odpowiedź: Prędkość początkowa strzały miała wartość około $40, 8 \frac{m}{s}$ .

$3.$

Szukane:

$v^{'} = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości prędkości, przy jakiej strzała nie doleci do ściany.

Odległość, na jaką dotrze strzała, to zasięg jej rzutu poziomego, który oznaczamy jako $z$ . Im większa szybkość początkowa, tym dalej dotrze strzała. Oznacza to, że minimalna szybkość początkowa, jaką należy nadać strzale, aby dotarła do ściany to taka, dla której zasięg rzutu jest równy odległości między punktem wystrzału a ścianą:

$z = x$

gdzie:

$x$ - odległość punktu wystrzału od ściany,

Z punktu 2. wiemy, że położenie ciała w rzucie poziomym w kierunku poziomy opisuje wzór:

$x = v_{0} t$

gdzie:

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej,

$t$ - czas ruchu ciała.

Wówczas:

$z = v_{0} t$

Nie znamy czasu $t$ , ale wiemy, że w kierunku pionowym ciało w rzucie pionowym przebywa pewną odległość ruchem jednostajnie przyspieszonym. Drogę, jaką przebywa ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, opisuje wzór:

$s = v_{p} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{p}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$t$ - czas ruchu.

W rzucie poziomym prędkość początkowa ciała w kierunku pionowym jest równa zero. Wówczas droga, jaką przebywa ciało w kierunku pionowym, opisuje wzór:

$s = \frac{1}{2} g t^{2}$

W rozważanym przez nas przypadku interesuje nas sytuacja, w której strzała nie doleci do ściany. Wówczas w kierunku pionowym strzała przebędzie drogę równą wysokości, z jakiej została wystrzelona:

$s = h$

Zapiszemy więc:

$h = \frac{1}{2} g t^{2}$

Przekształcamy powyższy wzór:

$\frac{1}{2} g t^{2} = h ∣ \cdot 2$

$g t^{2} = 2 h ∣ : g$

$t^{2} = \frac{2 h}{g}$

$t = \frac{2 h}{g}$

Wracamy do wzoru na zasięg rzutu:

$z = v_{0} t$

Podstawiamy wzór na czas ruchu:

$z = v_{0} \frac{2 h}{g}$

Interesuje nas sytuacja, w której strzała nie doleci do ściany, czyli interesuje nas taki lot strzały, w której jej zasięg będzie mniejszy od odległości $x$ między wieżą a ścianą:

$z < x$

Podstawiamy wyznaczony wzór na zasięg rzutu ciała w rzucie poziomym i wyznaczamy zależność dla wartości prędkości początkowej:

$v_{0} \frac{2 h}{g} < x : \frac{2 h}{g}$

$v_{0} < x \frac{g}{2 h}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$v_{0} < 100 m \cdot \frac{10 \frac{m}{s ^{2}}}{2 \cdot 40 m}$

$v_{0} < 100 m \cdot \frac{10}{80} \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{1}{m}$

$v_{0} < 100 m \cdot 0, 125 \frac{1}{s ^{2}}$

$v_{0} < 100 m \cdot 0, 35355 \frac{1}{s}$

$v_{0} < 35, 355 \frac{m}{s}$

Odpowiedź: Strzała nie doleci do ściany, jeżeli jej prędkość początkowa będzie mniała wartość mniejszą niż około $35, 4 \frac{m}{s}$ .

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.