Dane:

$d=160\mathrm{m}$  

$v_m=1,4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

$v_r=0,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

 

$\text{1.}$  

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Motorówka porusza się względem brzegu z pewną prędkością wypadkową, która stanowi sumę wektorową prędkości motorówki względem wody oraz prędkości rzeki. Zauważmy jednak, że kiedy analizujemy czas potrzebny na dotarcie do drugiego brzegu rzeki, interesuje nas jedynie składowa pionowa prędkości wypadkowej, czyli szybkość motorówki względem wody. Prędkość nurtu, która zwrócona jest równolegle do brzegu, powoduje jedynie, że motorówka dotrze do punktu na drugim brzegu, który jest przesunięty w poziomie o pewną odległość względem punktu startowego, ale nie wpłynie na czas ruchu. 

Czas trwania ruchu przedstawimy korzystając z wzoru dla ruchu jednostajnego:

$t=\frac{d}{v_m}$  

gdzie:

$t$ - czas trwania ruchu,

$d$ - odległość, którą motorówka pokonała w kierunku pionowym, czyli szerokość rzeki,

$v$ - szybkość motorówki względem wody.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{160\cancel{\mathrm{s}}}{1,4\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}}\approx 114,2857\mathrm{s}\approx 114,3\mathrm{s}$  

Odpowiedź: Motorówka przepłynie rzekę w czasie około 114,3 s.

 

$\text{2.}$  

1. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ czas, którego motorówka potrzebuje na dotarcie do drugiego brzegu jest niezależny od prędkości nurtu rzeki.

2. Zdanie jest FAŁSZYWE. Prędkość motorówki względem brzegu jest wypadkową prędkości motorówki względem rzeki i prędkości nurtu. Wektory tych prędkości są do siebie prostopadłe, dlatego wypadkową szybkość obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$v^2=v_m^2+v_r^2$

gdzie:

$v$ - szybkość motorówki względem brzegu,

$v_m$ - szybkość motorówki względem wody,

$v_r$ - szybkość nurtu rzeki.

Wyznaczamy wartość szybkości motorówki:

$v^2=v_m^2+v_r^2\mid \sqrt{}$   

$v=\sqrt{v_m^2+v_r^2}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{{\left(1,4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+{\left(0,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}=\sqrt{1,96\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+0,36\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$   

$=\sqrt{2,32\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 1,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

3. Zdanie jest FAŁSZYWE. Kąt ten możemy wyznaczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z funkcji tangens możemy zapisać:

$\tan \alpha =\frac{v_m}{v_r}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt między wektorem prędkości motorówki względem brzegu, a brzegiem,

$v_m$ - szybkość motorówki,

$v_r$ - szybkość nurtu rzeki.

Wstawiamy dane liczbowe:

$\tan \alpha =\frac{1,4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\approx 2,33$

Korzystając z kalkulatora naukowego lub tablic trygonometrycznych otrzymamy, że miara kąta wynosi:

$\alpha \approx 67^{\circ }$