Uzasadnienie: 

Naszym celem jest zaznaczenie na rysunku poziomu wody, promienia załamanego, promienia w akwarium bez wody oraz odległości potrzebnych do wyznaczenia współczynnika załamania wody. Z treści zadania wiemy, że laser pada na ściankę akwarium poniżej poziomu wody, a ścianki akwarium są na tyle cienkie, że ich wpływ na przebieg promienia lasera można pominąć. W związku z tym, gdyby akwarium było puste, promień lasera nie ulegałby załamaniu i poruszałby się dalej wzdłuż tej samej prostej.

Gdy laser wchodzi do wody w akwarium podlega on ugięciu zgodnie z prawem Snelliusa:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania,

$n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Powyższe równanie możemy przepisać tak, aby odpowiadało naszej sytuacji:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_{\text{w}}}{n_{\text{p}}}$

gdzie:

$n_{\text{w}}$ - współczynnik załamania wody,

$n_{\text{p}}$ - współczynnik załamania powietrza.

Powyższe równanie możemy przekształcić:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_{\text{w}}}{n_{\text{p}}}|\cdot \sin \beta \cdot n_{\text{p}}$

$n_{\text{p}}\sin \alpha =n_{\text{w}}\sin \beta$

Wiemy, że woda ma większy współczynnik załamania niż powietrze, zatem aby powyższe równanie było spełnione, kąt padania musi być większy niż kąt załamania.

Wiemy, że współczynnik załamania powietrza jest równy 1 więc możemy przepisać równanie Snelliusa do postaci:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=n_{\text{w}}$

$n_{\text{w}}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

Jak widzimy, aby wyznaczyć współczynnik załamania wody, musimy obliczyć wartości funkcji sinus dla kątów α oraz β. Sinus kąta obliczamy ze wzoru:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

gdzie:

$a$ - długość przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa,

$c$ - długość przeciwprostokątnej.

Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2$

gdzie:

$b$ - długość przyprostokątnej przy kącie alfa.

Bierzemy pierwiastek z obu stron równania:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Podstawiamy to do wzoru na wartość funkcji sinus i otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Wiemy, że promień pada na akwarium na wysokości h, a następnie podróżuje przez wodę w akwarium i pada na jego spód w odległości y od ściany. Pomiaru kąta padania możemy dokonać w podobny sposób gdy akwarium jest puste, ponieważ tak jak wcześniej wspominaliśmy, promień porusza się wówczas po prostej.

$\sin \beta =\frac{h}{\sqrt{h^2+y^2}}$

Wysokość pozostaje taka sama i musimy jedynie zmierzyć odległość x, w jakiej promień pada na spód akwarium.

$\sin \alpha =\frac{h}{\sqrt{h^2+x^2}}$

Podstawiając powyższe do wzoru na współczynnik załamania wody otrzymujemy:

$n_{\text{w}}=\frac{\frac{h}{\sqrt{h^2+x^2}}}{\frac{h}{\sqrt{h^2+y^2}}}$

$n_{\text{w}}=\frac{\cancel{h}}{\sqrt{h^2+x^2}}\cdot \frac{\sqrt{h^2+y^2}}{\cancel{h}}$

$n_{\text{w}}=\frac{\sqrt{h^2+y^2|}}{\sqrt{h^2+x^2}}$

 Odpowiedź: 

Aby obliczyć wartość współczynnika załamania wody, musimy zmierzyć odległości x, y i h.i x