$1.$  

Chwila początkowa.

W chwili początkowej pająk znajdował się w środku krzywizny zwierciadła:

$x=r=40cm$  

Z tego wynika, że obraz powstały w zwierciadle jest rzeczywisty, odwrócony i tej samej wielkości.

Po 50 sekundach ruchu. 

Wiemy, że pająk poruszał się z prędkością:

$v=2\frac{mm}{s}=0,2\frac{cm}{s}$  

Dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnym drogę możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$s=vt$  

gdzie s jest drogą jaką przebyło ciało poruszające się ze stałą prędkością v w czasie t. Z tego wynika, że pająk pokonał drogę:

$s=0,2\frac{cm}{\sout{s}}\cdot 50\sout{s}=10cm$  

Odległość pająka od zwierciadła będzie wynosiła:

$x=r-s$  

$x=40cm-10cm$  

$x=30cm$  

Wiemy, że promień krzywizny zwierciadła jest połową długości jego ogniskowej:

$f=\frac{1}{2}r$  

$f=\frac{1}{2}\cdot 40cm$  

$f=20cm$  

Zauważmy, że:

$f<x<r$  

Z tego wynika, że powstały obraz jest rzeczywisty, odwrócony i powiększony.

Po 150 sekundach ruchu

Znamy prędkość z jaką poruszał się pająk. Z tego wynika, że pająk pokonał drogę:

$s=0,2\frac{cm}{\sout{s}}\cdot 150\sout{s}=30cm$  

Odległość pająka od zwierciadła będzie wynosiła:

$x=r-s$  

$x=40cm-30cm$  

$x=10cm$  

Zauważmy, że:

$x<f$  

Z tego wynika, że powstały obraz jest pozorny, prosty i powiększony.

 

$2.$  

Obliczmy odległość pająka od zwierciadła po 90 sekundach ruchu. Droga jaką pokonał pająk wynosi:

$s=0,2\frac{cm}{\sout{s}}\cdot 90\sout{s}=18cm$  

Z tego wynika, że odległość pająka od zwierciadła wynosi:

$x=r-s$  

$x=40cm-18cm$  

$x=22cm$  

Zauważmy, że:

$f<x<r$  

Z tego wynika, że powstały obraz jest rzeczywisty, odwrócony i powiększony. Korzystając z równania zwierciadła wiemy, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie f jest ogniskową zwierciadła, x jest odległością przedmiotu od zwierciadła, y jest odległością obrazu od zwierciadła. Z tego wynika, że odległość obrazu od zwierciadła wynosi:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\mid -\frac{1}{x}$  

$\frac{1}{f}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$  

$\frac{x}{fx}-\frac{f}{fx}=\frac{1}{y}$  

$\frac{x-f}{fx}=\frac{1}{y}$  

$\frac{1}{y}=\frac{x-f}{fx}$  

$y=\frac{fx}{x-f}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y=\frac{20cm\cdot 22cm}{22cm-20cm}=\frac{440c{m}^2}{2cm}=220cm$  

Uzupełniamy tabelę:

t, s	90
x, cm	22
y, cm	220

Wyznaczmy prędkości chwilowe obrazu pająka. Prędkość chwilowa ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$\Delta v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

gdzie Δv jest prędkością chwilową, Δt jest całkowitym czasem, Δs jest całkowitą drogą jaką pokonało ciało.

W chwili początkowej obraz pająka poruszał się z prędkością:

$\Delta v_0=\frac{41,1cm-40cm}{5s-0s}=\frac{1,1cm}{5s}=0,22\frac{cm}{s}$   

Po 40 sekundach wartość prędkości chwilowej obrazu pająka wynosi:

$\Delta v_1=\frac{56,4cm-53,3cm}{45s-40s}=\frac{3,1cm}{5s}=0,62\frac{cm}{s}$  

Po 80 sekundach wartość prędkości chwilowej obrazu pająka wynosi:

$\Delta v_3=\frac{153,3s-120,0s}{85s-80s}=\frac{33,3s}{5s}=6,66\frac{cm}{s}$  

 

$3.$

Wykonajmy wykres zależności położenia obrazu pająka od czasu ruchu pająka:

Zauważmy, że obraz pająka poruszał się ruchem niejednostajnym z przyspieszeniem.

 

Odpowiedź: Ruch obrazu pająka w ciągu pierwszych 85 sekund był niejednostajnie przyspieszony.