$1.$ 

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest podanie prawidłowej kolejności przemian energetycznych mających miejsce w agregacie prądotwórczym.

Do agregatu najpierw wlewamy paliwo, które ulega spaleniu. Jest to energia chemiczna w układzie.

Następnie na skutek spalania tej benzyny rośnie temperatura. W ten sposób energia chemiczna przekształcana jest na ciepło.

Wydzielone ciepło sprawia, że gaz się ogrzewa i rozpręża wprawiając w ruch tłoki silnika. Jest to przemiana ciepłą na energię mechaniczną.

W ostatnim kroku silnik zaczyna obracać prądnica, zamieniając energię mechaniczną na elektryczną.

 Odpowiedź: 

 

$2.$

Dane:

$P=5,0\text{kW}=5000\text{W}$

$U_{\min }=230\text{V}$

$U_{\max }=400\text{V}$

Szukane:

$I=?$ 

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie największej skutecznej wartości natężenia prądu. Szukamy tej wartości dla stałej mocy agregatu. Z prawa Ohma wiemy, że natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do napięcia, więc musimy wybrać najmniejsze napięcie, aby otrzymać największe natężenie. Moc urządzenia elektrycznego przedstawiamy wzorem:

$P=I\cdot U$  

gdzie:

$P$ - moc urządzenia elektrycznego,

$U$ - napięcie,

$I$  - natężenie.

Z powyższego wzoru wynika, że natężenie prądu, które może dostarczyć agregat, wynosi:

$P=I\cdot U\mid :U$  

$\frac{P}{U}=I$  

$I=\frac{P}{U}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{5000\text{W}}{230\text{V}}=\frac{5000\text{A}\cdot \text{V}}{230{\text{V}}^{}}\approx 21,7\text{A}$  

Odpowiedź: Największe skuteczne natężenie wynosi 21,7 A.

 

$3.$  

Celem tego podpunktu jest udowodnienie, że sprawność silnik przy pobieraniu 2/3 maksymalnej mocy stałej wynosi 16%. Aby to zrobić musimy najpierw wyznaczyć ciepło jakie otrzymamy na skutek spalania benzyny dla zadanego czasu.  Znamy ciepło spalania oraz prędkość spalania z polecenia zatem możemy obliczyć ile energii jest dostarczone do układu stosując wzór:

$E=v\cdot C_s\cdot t$  

gdzie:

$E$ - energia uzyskana na skutek spalania,

$C_s$ - ciepło spalania,

$v$ - prędkość spalania paliwa,

$t$ - czas spalania.

Z treści zadania wiemy, że:

▶$C_s=30\frac{\text{MJ}}{\text{l}}=30\cdot 10^6\frac{\text{J}}{\text{l}}$

▶$v=2,5\frac{\text{l}}{\text{h}}$

Podstawiając dane:

$E=2,5\frac{\text{l}}{\text{h}}\cdot 30\cdot {10}^6\frac{\text{J}}{\text{l}}\cdot 1\text{h}=$

$=75\cdot {10}^6\frac{\text{J}}{\cancel{\text{h}}}\cdot 1\cancel{\text{h}}=75\cdot 10^6\text{J}$  

Otrzymana energia jest energią całkowitą dostarczoną do układu. Naszym następnym krokiem jest obliczenie energii użytecznej, czyli tej wykorzystanej przez układ. Moc agregatu będzie dana wzorem:

$P_{\text{agregatu}}=\frac{2}{3}\cdot P$  

gdzie:

$P$ - maksymalna moc stała,

$P_{\text{agregatu}}$ - moc z jaką będzie pracował agregat.

Z treści zadania mamy:

▶$P=5\text{kW}=5000\text{W}$

Związek między pracą a mocą jest dany wzorem:

$P=\frac{W}{t}$

gdzie:

$W$ - praca,

$P$ - moc.

Możemy przekształcić ten wzór do postaci:

$W=P\cdot t$

Podstawiając moc agregatu do tego wzoru otrzymujemy:

$W=\frac{2}{3}P\cdot t$

Podstawiając dane:

$W=\frac{2}{3}\cdot 5000\text{W}\cdot 1\text{h}=$

$=5000\frac{\text{J}}{\text{s}}\cdot \frac{2}{3}\cdot 3600\text{s}=$

$=5\cdot 10^3\cdot 2400\frac{\text{J}}{\cancel{\text{s}}}\cdot \cancel{\text{s}}=$

$=5\cdot 10^3\cdot 2,4\cdot 10^3\text{J}=12\cdot 10^6\text{J}$

Sprawność agregatu jest dana wzorem:

$\eta =\frac{W_u}{W_c}\cdot 100\%$

gdzie:

$\eta$ - sprawność,

$W_u$ - praca użyteczna,

$W_c$ - praca całkowita.

Tak jak mówiliśmy wcześniej pracą całkowitą w układzie jest całą energią ze spalania paliwa, a pracą użyteczną jest praca wykonana przez agregat. Korzystając z tych informacji możemy zapisać:

$\eta =\frac{W}{Q}\cdot 100\%$  

$\eta =\frac{12\cdot 10^6\text{J}}{75\cdot 10^6\text{J}}\cdot 100\%=0,16\cdot 100\%=16\%$  

Co należało wykazać.

 

$4.$  

Dane:

${\eta }_{\text{silnika}}=32\%$

${\eta }_{\text{agregatu}}=16\%$

Szukane:

${\eta }_{\text{prądnicy}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie sprawności prądnicy. W tym celu musimy prześledzić, jak energia przepływa w układzie. Najpierw mamy energię ze spalania benzyny, która jest całkowitą energią dostępną w układzie. Następnie ta energia jest przetwarzana przez silnik i w efekcie tracimy część energii. Energia, którą udało się przetworzyć, następnie trafia do prądnicy gdzie jest ponownie przetwarzana ze stratą.

Ilość energii, jaka pozostanie po przeprowadzeniu wybranego procesu, możemy obliczyć przekształcając wzór na sprawność tak jak poniżej:

$\eta =\frac{E_f}{E_0}|\cdot E_0$

$E_f=\eta \cdot E_0$

gdzie:

$E_f$ - energia po przeprowadzeniu procesu,

$E_0$ - energia przed przeprowadzeniem procesu.

Wiemy, że sprawność całego systemu wynosi 16%. Podstawiając to do wzoru otrzymujemy:

$E_f=16\%\cdot E_0$ 

Wykorzystując powyższy wzór dla samego silnika otrzymujemy:

$E_{\text{silnika}}=32\%\cdot E_0$

gdzie:

$E_{\text{silnika}}$ - energia pozostała po przetworzeniu przez silnik.

Dla prądnicy $E_{\text{silnika}}$ jest energią początkową podczas gdy energia końcowa to energia pozostała po przejściu przez cały agregat, czyli $E_f$. Korzystając z tych informacji oraz wzoru na sprawność możemy zapisać wzór na sprawność prądnicy:

${\eta }_{\text{prądnicy}}=\frac{E_f}{E_{\text{silnika}}}$

Podstawiając otrzymane wcześniej wartości:

${\eta }_{\text{prądnicy}}=\frac{16\%\cdot E_0}{32\%\cdot E_0}=0,5=50\%$

Odpowiedź: Sprawność prądnicy wynosi 50%.