$1.$  

Naszym celem jest wyznaczenie zwrotu siły Lorentza. W tym celu korzystamy z reguły lewej dłoni. Zgodnie z tą regułą wyprostowane palce lewej dłoni wskazują zwrot wektora prędkości, a wektor indukcji magnetycznej wchodzi do wnętrza dłoni. Przy takim ustawieniu dłoni odchylony kciuk wskazuje zwrot siły Lorentza. Zatem wektory będą ustawione jak na rysunku poniżej:

gdzie:

${\vec{F}}_L$ - wektor siły Lorentza,

$\vec{v}$ - prędkość protonu,

$\vec{B}$ - wektor indukcji magnetycznej.

 

$2.$  

Naszym celem jest wykazanie, że energia kinetyczna protonu poruszającego się w jednorodnym polu magnetycznym jest dana wzorem:

$E_k=\frac{q^2\cdot r^2\cdot B^2}{2m}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna protonu,

$q$ - wartość ładunku elektrycznego protonu,

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się proton,

$B$ - wartości indukcji magnetycznej,

$m$ - masa protonu.

Na proton poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza. Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę, której wartość wyraża się wzorem:

$F_L=q\cdot v\cdot B\sin \alpha$  

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki,

$v$ - szybkość cząstki,

$B$ - wartość indukcji magnetycznej,

$\alpha$ - kąt między wektorem prędkości a wektorem indukcji magnetycznej.

Wektor prędkości jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, więc możemy zapisać, że siła Lorentza ma postać:

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot 1$  

$F_L=q\cdot v\cdot B$  

Proton porusza się po okręgu, więc działa na niego siła dośrodkowa. Wartość siły dośrodkowej jest dana wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$ - masa ciała,

$v$ - szybkość ciała,

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się ciało.

Ładunek porusza się po okręgu, więc siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej, dlatego możemy porównać wzory na wartości tych sił:

$F_d=F_L$  

$\frac{m{v}^2}{r}=qvB\mid :v$  

$\frac{mv}{r}=qB\mid \cdot r$  

$mv=qBr\mid :m$  

$v=\frac{qBr}{m}$  

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczną ciała.

Korzystając z wyprowadzonego przez nas wzoru na szybkość ciała, możemy przekształcić wzór na energię kinetyczną do postaci:

$E_k=\frac{m{\left(\frac{qBr}{m}\right)}^2}{2}$

$E_k=\frac{\sout{m}\frac{q^2{B}^2{r}^2}{m^{\sout{2}}}}{2}$

$E_k=\frac{q^2{r}^2{B}^2}{2m}$  

Co należało wykazać.

 

$3.$  

Naszym celem jest wykazanie, że wzór na energię kinetyczną, który wyprowadziliśmy w poprzednim podpunkcie, daje wynik, którego jednostką jest dżul. Wiemy, że podane wielkości wyrażane są w tych jednostkach:

$\left[q\right]=\text{C}$  

$\left[r\right]=\text{m}$  

$\left[B\right]=\text{T}$  

$\left[m\right]=\text{kg}$  

Pole magnetyczne nie jest wyrażone w podstawowych jednostkach. Tesle w podstawowych jednostkach układu SI możemy zapisać:

$T=\frac{\text{kg}}{\text{C}\cdot \text{s}}$

Korzystając z powyższych informacji oraz wzoru na energię kinetyczną z poprzedniego podpunktu możemy zapisać:

$\left[E_k\right]=\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{T}}^2}{\text{kg}}=\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2\cdot {\left(\frac{\text{kg}}{\text{C}\cdot \text{s}}\right)}^2}{\text{kg}}=\frac{\cancel{{\text{C}}^2}\cdot {\text{m}}^2\cdot \frac{{\text{kg}}^{\cancel{2}}}{\cancel{{\text{C}}^2}\cdot {\text{s}}^2}}{\cancel{\text{kg}}}=\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=\text{J}$  

Co należało udowodnić.