Dane:

$n=2\text{mole}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$ .

 

$1.$

Dane w podpunkcie:

$p=10^5\text{Pa}$

$V=10{\text{dm}}^3=10\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=10^{-2}{\text{m}}^3$

Szukane:

$W=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonanej przez gaz w przemianie przedstawionej na wykresie dołączonym do zadania. W zadaniu mamy wykres zależności ciśnienia od objętości. Praca wykonana przez gaz równa jest polu pod wykresem zależności ciśnienia od objętości:

Zauważmy, że pole pod tym wykresem jest trapezem. Podstawmy trapezu mają długości:

$a=p$

$b=3p$

gdzie:

$p$ - początkowe ciśnienie gazu w stanie A.

Wysokość tego trapezu wynosi:

$h=3V-V=2V$

gdzie: 

$V$ - początkowa objętość gazu w stanie A.

Wówczas pole trapezu odpowiadające pracy wykonanej przez gaz ma postać:

$W=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$

$W=\frac{\left(p+3p\right)\cdot \cancel{2}V}{\cancel{2}}$

$W=4pV$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=4\cdot 10^5\text{Pa}\cdot 10^{-2}{\text{m}}^3=4\cdot 10^5\frac{\text{J}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 10^{-2}\cancel{{\text{m}}^3}=$

$=4\cdot 10^{5-2}\text{J}=4\cdot 10^3\text{J}=4\text{kJ}$

Odpowiedź: Gaz w tej przemianie wykonał pracę równą 4 kJ.

 

$2.$  

Szukane:

$t_B=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury gazu w stanie B. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu, 

$V$ - objętość gazu, 

$n$ - liczba moli gazu, 

$R$ - stała gazowa, 

$T$ - temperatura gazu doskonałego. 

Z wykresu możemy odczytać ciśnienie i objętość gazu w stanie B:

$p_B=3p$

$V_B=3V$

Wówczas temperatura gazu w stanie B będzie miała postać:

$nR{T}_B=p_B{V}_B|:nR$

$T_B=\frac{p_B{V}_B}{nR}$

$T_B=\frac{3p\cdot 3V}{nR}$

$T_B=\frac{9pV}{nR}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_B=\frac{9\cdot 10^5\text{Pa}\cdot 10^{-2}{\text{m}}^3}{2\cancel{\text{mole}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \text{K}}}=\frac{9\cdot 10^5\frac{\text{J}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 10^{-2}\cancel{{\text{m}}^3}}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{9\cdot 10^3\cancel{\text{J}}}{16,62\frac{\cancel{\text{J}}}{\text{K}}}\approx 0,5415\cdot 10^3\text{K}=541,5\text{K}$

Zatem w stopniach Celsjusza otrzymana temperatura wynosi:

$t_B={\left(541,5-273\right)}^{\circ }\text{C}=268,5^{\circ }\text{C}$

Odpowiedź: Temperatura gazu w stanie B wynosi około 268,5℃.

 

$3.$  

 Uzasadnienie: 

Energia wewnętrzna gazu jest sumą wszystkich rodzajów energii cząsteczek ciała. Korzystając zasady ekwipartycji energii energię wewnętrzną dla gazu doskonałego zawartego w zamkniętym zbiorniku możemy przedstawić wzorem:

$U=\frac{i}{2}nRT$

gdzie:

$U$ - energia wewnętrzna gazu, 

$i$ - liczba stopni swobody gazu, 

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu.  

W punkcie A gaz będzie miał energię wewnętrzną, którą możemy przedstawić wzorem:

$U_A=\frac{i}{2}nR{T}_A$

Z równania Clapeyrona mamy:

$T_A=\frac{pV}{nR}$

Zatem:

$U_A=\frac{i}{2}\cancel{nR}\cdot \frac{pV}{\cancel{nR}}$

$U_A=\frac{i}{2}pV$

Wówczas w punkcie B gaz ma energię wewnętrzną w postaci:

$U_B=\frac{i}{2}nR{T}_B$

$U_B=\frac{i}{2}\cancel{nR}\cdot \frac{9pV}{\cancel{nR}}$

$U_B=9\cdot \frac{i}{2}pV$

$U_B=9U_A$

Energia wewnętrzna wzrosła 9 razy.

 Odpowiedź: 

W przemianie tej gaz ciepło A .pobrał, a energia wewnętrzna gazu 1. wzrosła 9 razy.