$\text{Dane:}$  

$\text{v}=1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

${\text{m}}_{\alpha }=6,6\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

${\epsilon }_0=8,9\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{{\text{Nm}}^2}$  

$\text{e}=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

$\text{Z}=11$  

$\text{Szukane:}$

$\text{r}=\text{?}$  

W najbliższej odległości od jądra atomu sodu energia kinetyczna cząsteczek 𝛼 jest równa zeru, więc mają one jedynie energię potencjalną. Możemy zapisać ją wzorem:

${\text{E}}_{\text{p}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}}{\text{r}}$  

Gdzie:

${\text{q}}_{\alpha }-\text{ładunek cząstki}\alpha \to {\text{q}}_{\alpha }=2\text{e}$  

${\text{q}}_{\text{Na}}-\text{ładunek jądra sodu}\to {\text{q}}_{\text{Na}}=\text{Ze}$  

${\epsilon }_0-\text{przenikalnosˊcˊ elektryczna proˊz˙ni}$  

Z zasady zachowania enegii wiemy, że maksymalna energia potencjalna jest równa maksymalnej energii kinetycznej:

${\text{E}}_{\text{p}}={\text{E}}_{\text{k}}$  

Możemy więc zapisać, że:

${\text{E}}_{\text{k}}=\frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}}{4\pi {\epsilon }_0\text{r}}$  

Przekształcamy powyższy wzór, żeby obliczyć najmniejszą odległość cząsteczki 𝛼 od jądra sodu:

${\text{E}}_{\text{k}}=\frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}}{4\pi {\epsilon }_0\text{r}}\text{/}\cdot \left(4\pi {\epsilon }_0\text{r}\right)$  

${\text{E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0\text{r}=\frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}\cdot \sout{4\pi {\epsilon }_0\text{r}}}{\sout{4\pi {\epsilon }_0\text{r}}}$  

${\text{E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0\text{r}={\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}{\text{/: (E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0)$  

$\frac{\sout{{\text{E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0}\text{r}}{\sout{{\text{E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0}}=\frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}}{{\text{E}}_{\text{k}}4\pi {\epsilon }_0}$  

$\text{r}=\frac{{\text{q}}_{\alpha }\cdot {\text{q}}_{\text{Na}}}{4\pi {\epsilon }_0{\text{E}}_{\text{k}}}$  

Maksymalna energia kinetyczna cząstek 𝛼 wynosi:

${\text{E}}_{\text{k}}=\frac{{\text{m}}_{\alpha }{\text{v}}^2}{2}$   

${\text{E}}_{\text{k}}=\frac{6,6\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot {\left(1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2}$  

${\text{E}}_{\text{k}}=8,448\cdot {10}^{-13}\text{J}$  

Wstawiamy więc dane liczbowe do wzoru na odległość cząsteczek od jądra sodu i obliczamy:

$\text{r}=\frac{2\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\cdot 11\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}{4\cdot 3,14\cdot 8,9\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{{\text{Nm}}^2}\cdot 8,448\cdot {10}^{-13}\text{J}}=\frac{56,32\cdot {10}^{-38}\sout{{\text{C}}^2}}{4\cdot 3,14\cdot 8,9\cdot {10}^{-12}\cdot 8,448\cdot {10}^{-13}\frac{\sout{{\text{C}}^2}}{\sout{\text{N}}{\text{m}}^{\sout{\text{2}}}}\cdot \sout{\text{Nm}}}$   

$\text{r}\approx 6\cdot {10}^{-15}\text{m}$  

Odpowiedź: Cząstka zbliży się na odległość około 6 ∙10^-15 m od środka jądra sodu.