Dane:

$x=40\text{cm}=0,4\text{m}$   

$r=-80\text{cm}=-0,8\text{m}$  

$n=1,5$    

 

$\text{7.1.}$  

Równanie soczewki znajdującej się w powietrzu ma postać:

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)$  

gdzie:

$f$  - ogniskowa soczewki,

$n$  - współczynnikiem załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka,

$r_1$  i  $r_2$  - promienie krzywizny soczewki.

W naszym przypadku soczewka jest płasko - wklęsła, czyli:

$r_1=r$  

$r_2\to +\infty \text{, czyli }\frac{1}{r_2}\to 0$  

Wówczas ogniskowa soczewki będzie miała postać:

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \left(\frac{1}{r}+0\right)$  

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{r}\mid \cdot fr$  

$r=\left(n-1\right)f\mid :\left(n-1\right)$  

$\frac{r}{n-1}=f$  

$f=\frac{r}{n-1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{-0,8\text{m}}{1,5-1}=\frac{-0,8\text{m}}{0,5}=-1,6\text{m}$  

Znak "minus" świadczy o ognisku pozornym tej soczewki oraz, że jest ona rozpraszająca. 

Wykonajmy rysunek, na którym zaznaczamy oś optyczną, soczewkę, ognisko oraz przedmiot:

Skonstruujmy obraz przedmiotu w tej soczewce. Na początku rysujemy promień padający na punkt przecięcia się soczewki z osią optyczną:

Następnie rysujemy promień wychodzący z wierzchołka przedmiotu równolegle do osi optycznej. Padając na soczewkę załamuje się on w taki sposób, że przedłużenie promienia załamanego przechodzi przez ognisko tej soczewki:

W miejscu przecięcia się przedłużenia promienia załamanego na soczewce i promienia padającego na środek soczewki powstaje obraz tego przedmiotu:

 

$\text{7.2.}$  

Szukane:

$y=?$  

$p=?$  

Rozwiązanie:

Równanie soczewki, gdy jest ona rozpraszającą ma postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$  

gdzie:

$f$  - ogniskowa soczewki,

$x$  - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$  - odległość obrazu od soczewki.

Wówczas odległość obrazu od soczewki obliczymy za pomocą wzoru:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\mid \cdot fxy$  

$\frac{fxy}{f}=\frac{fxy}{x}-\frac{fxy}{y}$  

$xy=fy-fx\mid -fy$  

$xy-fy=-fx$  

$-\left(f-x\right)y=-fx\mid :\left(-\left(f-x\right)\right)$  

$y=\frac{fx}{f-x}$  

$y=\frac{\frac{r}{n-1}\cdot x}{\frac{r}{n-1}-x}$  

$y=\frac{\frac{r}{n-1}\cdot x}{\frac{r}{n-1}-\frac{x\left(n-1\right)}{n-1}}$  

$y=\frac{\frac{rx}{n-1}}{\frac{r-x\left(n-1\right)}{n-1}}$  

$y=\frac{rx}{r-x\left(n-1\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y=\frac{-0,8\text{m}\cdot 0,4\text{m}}{-0,8\text{m}-0,4\text{m}\cdot \left(1,5-1\right)}=\frac{-0,32{\text{m}}^2}{-0,8\text{m}-0,4\text{m}\cdot 0,5}=$  

$=\frac{-0,32{\text{m}}^2}{-0,8\text{m}-0,2\text{m}}=\frac{-0,32{\text{m}}^2}{-1\text{m}}=0,32\text{m}=32\text{m}$  

W równaniu soczewki uwzględnione zostało, że mamy do czynienia w przypadku soczewki rozpraszającej z obrazem pozornym, dlatego możemy zapisać:

$y=-32\text{cm}$  

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{\left|y\right|}{x}$  

gdzie:

$x$  - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$  - odległość obrazu od soczewki.

Zatem dla naszego przypadku mamy:

$p=\frac{\left|-32\text{cm}\right|}{40\text{cm}}=\frac{32\text{cm}}{40\text{cm}}=0,8$  

Odpowiedź: Odległość obrazu od soczewki wynosi 32 cm, a jego powiększenie to 0,8.

 

$\text{7.3.}$  

Tak zmodyfikowaną soczewkę traktujemy jak zwierciadło. Wiemy, że ogniskowa zwierciadła wklęsłego jest połową jego promienia, dlatego będzie wynosiła:

$f=\frac{1}{2}\left|r\right|$  

$f=\frac{1}{2}\cdot \left|-80\text{cm}\right|=\frac{1}{2}\cdot 80\text{cm}=40\text{cm}=0,4\text{m}$  

Przedmiot umieszczamy w odległości $x$  od zwierciadła. Zauważmy, że w przypadku zwierciadła mamy przedmiot ustawiony w ognisku tego zwierciadła. Oznacza to, że promienie od niego odbite będą równoległe i obraz nie powstanie.

Wykonajmy konstrukcję tych promieni:

 

$\text{7.4.}$  

Równanie zwierciadła ma postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie:

$f$  - ogniskowa zwierciadła,

$x$  - odległość przedmiotu od zwierciadła,

$y$  - odległość obrazu od zwierciadła.

Zakładamy, że za pomocą tego zwierciadła otrzymujemy obraz rzeczywisty i pomniejszony, czyli:

$x\text{ > }2f$

$2f\text{ > }y\text{ > }f$  

Wówczas odległość przedmiotu od zwierciadła możemy przedstawić zależnością:

$x=d_1+f$   

$y=d_2+f$   

Wówczas otrzymujemy, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_1+f}+\frac{1}{d_2+f}\mid \cdot f\left(d_1+f\right)\left(d_2+f\right)$  

$\frac{f\left(d_1+f\right)\left(d_2+f\right)}{f}=\frac{f\left(d_1+f\right)\left(d_2+f\right)}{d_1+f}+\frac{f\left(d_1+f\right)\left(d_2+f\right)}{d_2+f}$  

$\left(d_1+f\right)\left(d_2+f\right)=f\left(d_2+f\right)+f\left(d_1+f\right)$  

$d_1{d}_2+\underline{\underline{d_{1}f}}+\underline{d_{2}f}+\cancel{f^2}=\underline{d_{2}f}+f^2+\underline{\underline{d_{1}f}}+\cancel{f^2}$  

$d_1{d}_2=f^2$  

$f^2=d_1{d}_2$  

Co należało wykazać.