Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$h=2m$   

$n=\frac{4}{3}$  

Przyjmujemy, że współczynnik załamania światła dla powierza wynosi 1:

$n_p=1$   

 

$1.1.$     

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x}{h{}^{\prime }}$  

$\mathrm{tg}\beta =\frac{x}{h}$  

gdzie h jest głębokością na jakiej znajduje się ryba, h' jest głębokością na jakiej zobaczymy rybę. Patrzymy na rybę pionowo z góry. Kąty padania i załamania są bardzo małe, dlatego możemy przyjąć, że:

$\sin \alpha \approx \mathrm{tg}\alpha$  

$\sin \beta \approx \mathrm{tg}\beta$  

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}$  

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że głębokość na jakiej zobaczymy rybę będzie wynosiła:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n}{n_p}$   

$\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\mathrm{tg}\beta }=\frac{n}{1}$   

$\frac{\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{1}{n}$   

$\frac{\frac{x}{h}}{\frac{x}{h{}^{\prime }}}=\frac{1}{n}$

$h{}^{\prime }=\frac{1}{n}\mid \cdot h$

$h{}^{\prime }=\frac{h}{n}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: 

$h{}^{\prime }=\frac{2m}{\frac{4}{3}}=2m\cdot \frac{3}{4}=1,5m$   

 

$1.2.$   

Całkowite wewnętrzne odbicie mamy dla przypadku granicznego. Prawo załamania dla przypadku granicznego przedstawiamy wzorem:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie α_gr jest granicznym kątem padania, n₁ jest współczynnikiem załamania dla ośrodka, w którym światło pada, n₂ jest współczynnikiem załamania ośrodka, w którym światło się załamuje. Wykonajmy rysunek pomocniczy dla naszego przypadku:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zauważyć, że:

$y^2=h^2+x^2\mid \sqrt{}$  

$y=\sqrt{h^2+x^2}$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{x}{y}$  

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{n_p}{n}$    

$\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{1}{n}$    

$\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{1}{n}{\mid }^2$    

$\frac{x^2}{h^2+x^2}=\frac{1}{n^2}\mid \cdot \left(h^2+x^2\right)n^2$    

$x^2{n}^2=h^2+x^2\mid -x^2$    

$x^2{n}^2-x^2=h^2$     

$x^2\left(n^2-1\right)=h^2\mid :\left(n^2-1\right)$  

$x^2=\frac{h^2}{n^2-1}\mid \sqrt{}$    

$x=\frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$  

Odległość ryby od punktów leżących na tej samej głębokości będzie miała postać:

$d=2x$  

$d=2\frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$  

$d=\frac{2h}{\sqrt{n^2-1}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{2\cdot 2m}{\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2-1}}=\frac{4m}{\sqrt{\frac{16}{9}-1}}=\frac{4m}{\sqrt{\frac{7}{9}}}=3\cdot \frac{4m}{\sqrt{7}}=\frac{12m}{\sqrt{7}}\approx \frac{12m}{2,646}\approx 4,54m$