$\text{Dane:}$  

$\text{d}=2\text{cm}=0,02\text{m}$  

${\rho }_{\text{w}}=1030\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

${\rho }_{\text{stali}}=7800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

${\rho }_{\text{Pb}}=11400\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$ ${\rho }_{\text{Pb}}=11400\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$\sigma =7\cdot {10}^7\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$\text{Szukane:}$  

$\text{h}=\text{?}$  

Narysujmy schematyczny rysunek rozkładu sił:

Zakładamy, że lina ma kształt walca. Jej masę możemy więc wyrazić poprzez gęstość:

${\rho }_{\text{stali}}=\frac{\text{m}}{{\text{V}}_{\text{liny}}}\text{/}\cdot {\text{V}}_{\text{liny}}$   

${\rho }_{\text{stali}}\cdot {\text{V}}_{\text{liny}}=\frac{\text{m}\cdot \sout{{\text{V}}_{\text{liny}}}}{\sout{{\text{V}}_{\text{liny}}}}$  

$\text{m}={\rho }_{\text{stali}}\cdot {\text{V}}_{\text{liny}}$  

Natomiast objętość liny wyrażamy za pomocą wzoru na objętość walca:

${\text{V}}_{\text{liny}}=\text{S}\cdot \text{h}$  

Gdzie S to pole przekroju poprzecznego liny.

Więc jej masa wynosi:

$\text{m}={\rho }_{\text{stali}}\cdot \text{S}\cdot \text{h}$  

Na zanurzoną w wodzie linę działają: ciężar liny wyrażany wzorem:

$\text{Q}=\text{m}\cdot \text{g}={\rho }_{\text{stali}}\cdot \text{S}\cdot \text{h}\cdot \text{g}$  

Oraz siła wyporu:

${\text{F}}_{\text{w}}={\rho }_{\text{w}}\cdot \text{g}\cdot {\text{V}}_{\text{w}}={\rho }_{\text{w}}\cdot \text{g}\cdot \text{S}\cdot \text{h}$  

Siła wypadkowa działająca na linę wynosi więc:

$\text{F}=\text{Q}-{\text{F}}_{\text{w}}$    

$\text{F}={\rho }_{\text{stali}}\cdot \text{S}\cdot \text{h}\cdot \text{g}-{\rho }_{\text{w}}\cdot \text{g}\cdot \text{S}\cdot \text{h}=\text{g}\cdot \text{S}\cdot \text{h}\cdot \left({\rho }_{\text{stali}}-{\rho }_{\text{w}}\right)$  

Naprężenie liny zapisujemy za pomocą wzoru:

$\text{N}=\frac{\text{F}}{\text{S}}$  

i musi ono być mniejsze od granicznej sprężystości stali, aby lina nie zerwała się pod własnym ciężarem. Można więc zapisać, że:

$\text{N}>\text{g}\cdot \text{h}\cdot \left({\rho }_{\text{stali}}-{\rho }_{\text{w}}\right)$   

Teraz zapiszmy warunki, które muszą być spełnione, aby lina nie zerwała się:

$\sigma >\frac{\text{F}}{\text{S}}>\text{g}\cdot \text{h}\cdot \left({\rho }_{\text{stali}}-{\rho }_{\text{w}}\right)$  

Z powyższego wyrażenia możemy zapisać, że:

`"h"  

Na koniec wstawiamy dane liczbowe, aby obliczyć szukaną głębokość:

`"h"  

$\text{h}<1034\text{m}$

 

Odpowiedź: Największa głębokość akwenu, jaką można zmierzyć w ten sposób wynosi około 1034 m.