Rysunki przedstawiają dwa obwody elektryczne...- Zadanie Zadanie 10.38: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$\underline{obw \overset{o}{ˊ} d I}$

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_{1} = 40 Ω$

$R_{2} = 50 Ω$

$R_{3} = 50 Ω$

$R_{4} = 40 Ω$

$U = 18 V$

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U = R \cdot I$

gdzie $U$ jest napięciem, $I$ jest natężeniem, $R$ jest oporem.

Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Z tego wynika, że natężenie prądu płynącego przez opornik 1 jest takie samo jak natężenie prądu płynącego przez opornik 2:

$I_{2} = I_{1}$

$\frac{U _{2}}{R _{2}} = \frac{U _{1}}{R _{1}} ∣ \cdot R_{2}$

$U_{2} = U_{1} \cdot \frac{R _{2}}{R _{1}}$

Ponieważ układ oporników 1, 2 jest połączony równolegle z układem oporników 3, 4 to możemy zapisać, że:

$U_{1, 2} = U_{3, 4} = U$

Ponieważ opornik 1 jest połączony szeregowo z opornikiem 2 to możemy zapisać, że:

$U_{1} + U_{2} = U_{1, 2}$

$U_{1} + U_{2} = U$

$U_{1} + U_{1} \cdot \frac{R _{2}}{R _{1}} = U ∣ \cdot R_{1}$

$U_{1} \cdot R_{1} + U_{1} \cdot R_{2} = U \cdot R_{1}$

$U_{1} \cdot (R_{1} + R_{2}) = U \cdot R_{1} ∣ : (R_{1} + R_{2})$

$U_{1} = U \cdot \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$

$U_{1} = 18 V \cdot \frac{40 Ω}{40 Ω + 50 Ω} = 18 V \cdot \frac{40 Ω}{90 Ω} = 18 V \cdot \frac{4}{9} = 8 V$

Oznacza to, że spadek napięcia na oporniku 1 wynosi 8 V, czyli napięcie w punkcie A będzie miało postać:

$U_{A} = U_{1}$

$U_{A} = 8 V$

Analogicznie wyznaczamy napięcie w punkcie B. Ponieważ oporniki 3 i 4 połączone są szeregowo, to natężenie prądu przepływającego przez te oporniki ma postać:

$I_{4} = I_{3}$

$\frac{U _{4}}{R _{4}} = \frac{U _{3}}{R _{3}} ∣ \cdot R_{4}$

$U_{4} = U_{3} \cdot \frac{R _{4}}{R _{3}}$

Ponieważ opornik 3 jest połączony szeregowo z opornikiem 4, to możemy zapisać, że:

$U_{3} + U_{4} = U_{3, 4}$

$U_{3} + U_{4} = U$

$U_{3} + U_{3} \cdot \frac{R _{4}}{R _{3}} = U ∣ \cdot R_{3}$

$U_{3} \cdot R_{3} + U_{3} \cdot R_{4} = U \cdot R_{3}$

$U_{3} \cdot (R_{3} + R_{4}) = U \cdot R_{3} ∣ : (R_{3} + R_{4})$

$U_{3} = U \cdot \frac{R _{3}}{R _{3} + R _{4}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{3} = 18 V \cdot \frac{50 Ω}{50 Ω + 40 Ω} = 18 V \cdot \frac{50 Ω}{90 Ω} =$

$= 18 V \cdot \frac{5}{9} = 10 V$

Oznacza to, że spadek napięcia na oporniki 3 wynosi 10 V, czyli napięcie w punkcie B będzie miało postać:

$U_{B} = U_{3}$

$U_{B} = 10 V$

Wówczas różnica potencjałów ma postać:

$V_{A} - V_{B} = U_{A} - U_{B}$

$V_{A} - V_{B} = 8 V - 10 V = - 2 V$

$\underline{obw \overset{o}{ˊ} d II}$

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_{1} = 30 Ω$

$R_{2} = 60 Ω$

$C_{1} = 3 μ F$

$C_{2} = 6 μ F$

$U = 18 V$

Punkt A znajduje się pomiędzy dwoma kondensorami. Pojemność kondensatora obliczamy korzystając z wzoru:

$C = \frac{Q}{U}$

gdzie $C$ jest pojemnością kondensatora, na którym zgromadził się ładunek $Q$ podłączonego do napięcia $U$ .

Z tego wynika, że napięcie na kondensatorze przedstawiamy wzorem:

$U = \frac{Q}{C}$

Kondensatory połączone szeregowo mają taką własność, że na każdym kondensatorze zgromadzi się taki sam ładunek, a napięcia na poszczególnych kondensatorach będą różne:

$Q_{1} = Q_{2} = Q$

Natomiast napięcie na każdym z kondensatorów przedstawimy zależnością:

$U_{1} + U_{2} = U$

$\frac{Q _{1}}{C _{1}} + \frac{Q _{2}}{C _{2}} = U$

$\frac{Q}{C _{1}} + \frac{Q}{C _{2}} = U$

$\frac{Q \cdot C _{2}}{C _{1} \cdot C _{2}} + \frac{Q \cdot C _{1}}{C _{1} \cdot C _{2}} = U$

$\frac{Q \cdot C _{1} + Q \cdot C _{2}}{C _{1} \cdot C _{2}} = U$

$\frac{Q \cdot ( C _{1} + C _{2} )}{C _{1} \cdot C _{2}} = U ∣ \cdot \frac{C _{1} \cdot C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$

$Q = U \cdot \frac{C _{1} \cdot C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = 18 V \cdot \frac{3 \cdot 10 ^{- 6} F \cdot 6 \cdot 10 ^{- 6} F}{3 \cdot 10 ^{- 6} F + 6 \cdot 10 ^{- 6} F} =$

$= 18 V \cdot \frac{18 \cdot 10 ^{- 6} \cdot 10 ^{- 6} F ^{2}}{9 \cdot 10 ^{- 6} F} = 18 V \cdot 2 \cdot 10^{- 6} F =$

$= 18 V \cdot 2 \cdot 10^{- 6} \frac{C}{V} = 36 \cdot 10^{- 6} C$

Wówczas napięcie na kondensatorze 1 będzie wynosiło:

$U_{1} = \frac{Q _{1}}{C _{1}}$

$U_{1} = \frac{Q}{C _{1}}$

$U_{1} = \frac{36 \cdot 10 ^{- 6} C}{3 \cdot 10 ^{- 6} F} = 12 \frac{C}{F} = 12 V$

Oznacza to, że napięcie w punkcie A wynosi:

$U_{A} = U_{1}$

$U_{A} = 12 V$

Obliczmy spadek potencjału na oporniku 1. Ponieważ układ oporników 1, 2 jest równoległy do układu kondensatorów, to:

$U_{1, 2} = U$

Natężenie prądu przepływającego przez opornik 1 jest takie samo jak natężenie prądu przepływającego przez opornik 2:

$I_{2} = I_{1}$

$\frac{U _{2}}{R _{2}} = \frac{U _{1}}{R _{1}} ∣ \cdot R_{2}$

$U_{2} = U_{1} \cdot \frac{R _{2}}{R _{1}}$

Ponieważ opornik 1 jest połączony szeregowo z opornikiem 2 to:

$U_{1} + U_{2} = U_{1, 2}$

$U_{1} + U_{2} = U$

$U_{1} + U_{1} \cdot \frac{R _{2}}{R _{1}} = U ∣ \cdot R_{1}$

$U_{1} \cdot R_{1} + U_{1} \cdot R_{2} = U \cdot R_{1}$

$U_{1} \cdot (R_{1} + R_{2}) = U \cdot R_{1} ∣ : (R_{1} + R_{2})$

$U_{1} = U \cdot \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{1} = 18 V \cdot \frac{30 Ω}{30 Ω + 60 Ω} = 18 V \cdot \frac{30 Ω}{90 Ω} = 18 V \cdot \frac{1}{3} = 6 V$

Z tego wynika, że napięcie prądu w punkcie B wynosi:

$U_{B} = 6 V$

Wówczas różnica potencjałów ma postać:

$V_{A} - V_{B} = U_{A} - U_{B}$

$V_{A} - V_{B} = 12 V - 6 V = 6 V$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.