Rysunki przedstawiają schematy obwodów...- Zadanie Zadanie 10.34: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_{1} = 2 Ω$

$R_{2} = 2 Ω$

$R_{4} = 6 Ω$

$R_{7} = 6 Ω$

$U = 10 V$

$U_{3} = 4 V$

$U_{6} = 4 V$

$I_{4} = 1 A$

Wykonajmy uproszczony schemat obwodu:

Zauważmy, że:

$I_{1} = I_{2} = I_{3} = I_{A 1}$

$I_{4} = I_{5}$

$I_{6} = I_{A 2}$

Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Z tego wynika, że:

$I_{6} + I_{1} + I_{4}$

Napięcia na obwodzie będą miały postać:

$U = U_{7}$

$U_{1} + U_{2} + U_{3} = U_{4} + U_{5}$

$U_{4} + U_{5} + U_{6} = U_{7}$

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U = R \cdot I$

gdzie $U$ jest napięciem, $I$ jest natężeniem, $R$ jest oporem.

Zauważmy, że:

$U_{1} = I_{1} \cdot R_{1}, czyli U_{1} = I_{A 1} \cdot R_{1}$

$U_{2} = I_{2} \cdot R_{1}, czyli U_{2} = I_{A 1} \cdot R_{2}$

$U_{4} = R_{4} \cdot I_{4}$

$U_{5} = R_{5} \cdot I_{5}, czyli U_{5} = R_{5} \cdot I_{4}$

$U_{7} = R_{7} \cdot I_{7}$

Wyznaczmy wartość napięcia na oporniku 4:

$U_{4} = R_{4} \cdot I_{4}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{4} = 6 Ω \cdot 1 A = 6 Ω \cdot A = 6 V$

Wyznaczmy napięcie na oporniku 5:

$U_{4} + U_{5} + U_{6} = U ∣ - U_{4} - U_{6}$

$U_{5} = U - U_{4} - U_{6}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{5} = 12 V - 6 V - 4 V = 2 V$

Wyznaczmy opór na oporniku 5:

$R_{5} = \frac{U _{5}}{I _{5}}$

$R_{5} = \frac{U _{5}}{I _{4}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{5} = \frac{2 V}{1 A} = 2 Ω$

Wyznaczamy natężenie prądu przepływającego przez opornik 1:

$U_{1} + U_{2} + U_{3} = U_{4} + U_{5} ∣ - U_{3}$

$U_{1} + U_{2} = U_{4} + U_{5} - U_{3}$

$I_{1} \cdot R_{1} + I_{2} \cdot R_{2} = U_{4} + U_{5} - U_{3}$

$I_{A 1} \cdot R_{1} + I_{A 1} \cdot R_{2} = U_{4} + U_{5} - U_{3}$

$I_{A 1} \cdot (R_{1} + R_{2}) = U_{4} + U_{5} - U_{3} ∣ : (R_{1} + R_{2})$

$I_{A 1} = \frac{U _{4} + U _{5} - U _{3}}{R _{1} + R _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{A 1} = \frac{6 V + 2 V - 4 V}{2 Ω + 2 Ω} = \frac{4 V}{4 Ω} = 1 A$

Wyznaczamy opór na oporniku 3:

$R_{3} = \frac{U _{3}}{I _{3}}$

$R_{3} = \frac{U _{3}}{I _{A 1}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{3} = \frac{4 V}{1 A} = 4 \frac{V}{A} = 4 Ω$

Wyznaczamy natężenie prądu przepływającego przez opornik 6:

$I_{6} = I_{1} + I_{4}$

$I_{A 2} = I_{A 1} + I_{4}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{A 2} = 1 A + 1 A = 2 A$

Wyznaczamy opór opornika 6:

$R_{6} = \frac{U _{6}}{I _{6}}$

$R_{6} = \frac{U _{6}}{I _{A 2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{6} = \frac{4 V}{2 A} = 2 Ω$

PODSUMOWANIE:

$R_{3} = 4 Ω$

$R_{5} = 2 Ω$

$R_{6} = 2 Ω$

$I_{A 1} = 1 A$

$I_{A 2} = 2 A$

$U_{5} = 2 V$

Wyznaczamy opór zastępczy całego układu.

Z prawa Kirchhoffa otrzymujemy, że:

$I = I_{6} + I_{7}$

$I = I_{A 2} + \frac{U _{7}}{R _{7}}$

$I = I_{A 2} + \frac{U}{R _{7}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I = 2 A + \frac{12 V}{6 Ω} = 2 A + 2 \frac{V}{Ω} = 2 A + 2 A = 4 A$

Z tego wynika, że opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

$R_{z} = \frac{U}{I}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{z} = \frac{12 V}{4 A} = 3 \frac{V}{A} = 3 Ω$

$b)$

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$U = 12 V$

$R_{1} = 1 Ω$

$R_{4} = 8 Ω$

$R_{6} = 6 Ω$

$R_{7} = 3 Ω$

$I_{3} = 1 A$

$I_{7} = \frac{1}{3} A$

Wykonajmy uproszczony schemat obwodu:

Zauważmy, że:

$U_{6} = U_{7}$

$U_{4} = U_{5} + U_{7}$

$U_{3} = U_{4}$

$U_{1} + U_{2} + U_{3} = U$

$I_{1} = I_{2}$

Wyznaczmy napięcie na oporniku 7:

$U_{7} = R_{7} \cdot I_{7}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{7} = 3 Ω \cdot \frac{1}{3} A = 1 Ω \cdot A = 1 V$

Wyznaczmy natężenie prądu przepływającego przez 6 opornik:

$I_{6} = \frac{U _{6}}{R _{6}}$

$I_{6} = \frac{U _{7}}{R _{6}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{6} = \frac{1 V}{6 Ω} = \frac{1}{6} A$

Korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa obliczmy natężenie na oporniku 5:

$I_{5} = I_{6} + I_{7}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{5} = \frac{1}{6} A + \frac{1}{3} A = \frac{1}{6} A + \frac{2}{6} A = \frac{3}{6} A = \frac{1}{2} A = 0, 5 A$

Wyznaczmy opór opornika 5:

$R_{5} = \frac{U _{5}}{I _{5}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{5} = \frac{3 V}{0 , 5 A} = 6 \frac{V}{A} = 6 Ω$

Wyznaczmy napięcie na oporniku 4:

$U_{4} = U_{5} + U_{7}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{4} = 3 V + 1 V = 4 V$

Wyznaczmy natężenie prądu przepływającego przez opornik 4:

$I_{4} = \frac{U _{4}}{R _{4}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{4} = \frac{4 V}{8 Ω} = \frac{1}{2} \frac{V}{Ω} = 0, 5 A$

Korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa wyznaczamy natężenie prądu płynącego przez opornik 2:

$I_{2} = I_{3} + I_{4} + I_{5}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{2} = 1 A + 0, 5 A + 0, 5 A = 2 A$

Wyznaczamy opór opornika 3:

$R_{3} = \frac{U _{3}}{I _{3}}$

$R_{3} = \frac{U _{4}}{I _{3}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{3} = \frac{4 V}{1 A} = 4 \frac{V}{A} = 4 Ω$

Wyznaczamy napięcie na oporniku 2:

$U_{1} + U_{2} + U_{3} = U ∣ - U_{1} - U_{3}$

$U_{2} = U - U_{1} - U_{3}$

$U_{2} = U - I_{1} \cdot R_{1} - I_{3} \cdot R_{3}$

$U_{2} = U - I_{2} \cdot R_{1} - I_{3} \cdot R_{3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{2} = 12 V - 2 A \cdot 1 Ω - 1 A \cdot 4 Ω = 12 V - 2 A \cdot Ω - 4 A \cdot Ω = 12 V - 2 V - 4 V = 6 V$

Wyznaczamy opór opornika 2:

$R_{2} = \frac{U _{2}}{I _{2}}$

$R_{2} = \frac{6 V}{2 A} = 3 Ω$

PODSUMOWANIE:
$R_{2} = 3 Ω$

$R_{3} = 4 Ω$

$R_{5} = 6 Ω$

$I_{2} = 2 A$

$I_{4} = 0, 5 A$

$I_{6} = \frac{1}{6} A$

Wyznaczamy opór zastępczy całego układu.

Zauważmy, że:

$I = I_{2}$

Z tego wynika, że:

$R_{z} = \frac{U}{I}$

$R_{z} = \frac{U}{I _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{z} = \frac{12 V}{2 A} = 6 \frac{V}{A} = 6 Ω$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.