Połączenie szeregowe

Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$

gdzie $R_z$  jest oporem zastępczym, $R_z$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

Połączenie równoległe

Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając  z wzoru:

$\frac{1}{R_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$  

gdzie $R_z$  jest oporem zastępczym, $R_i$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

 

$a)$    

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R$  

$R=7\Omega$     

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że oporniki 1 i 2 są połączone szeregowo, dlatego ich opór zastępczy wynosi:

$R_{1,2}=R_1+R_2$  

$R_{1,2}=R+R$  

$R_{1,2}=2\cdot R$  

Oporniki 4 i 5 są połączone równolegle, wówczas:

$\frac{1}{R_{4,5}}=\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5}$  

$\frac{1}{R_{4,5}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_{4,5}}=\frac{2}{R}$  

$R_{4,5}=\frac{R}{2}$  

Opornik 3 oraz układ oporników 4 i 5 połączony jest szeregowo, wówczas:

$R_{3,4,5}=R_3+R_{4,5}$  

$R_{3,4,5}=R+\frac{R}{2}$  

$R_{3,4,5}=\frac{3}{2}\cdot R$  

Układy oporników 1, 2 oraz 3, 4 5 połączone są równolegle, dlatego:

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{1}{R_{1,2}}+\frac{1}{R_{3,4,5}}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{1}{2\cdot R}+\frac{1}{\frac{3}{2}\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{1}{2\cdot R}+\frac{2}{3\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{3}{6\cdot R}+\frac{4}{6\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{7}{6\cdot R}$  

$R_{1,2,3,4,5}=\frac{6}{7}\cdot R$  

Ostatecznie mamy, że układ oporników 1,2,3,4,5 oraz opornik 6 są połączone szeregowo. Oznacza to, że opór zastępczy całego układu wynosi:

$R_z=R_{1,2,3,4,5}+R_6$  

$R_z=\frac{6}{7}\cdot R+R$  

$R_z=\frac{13}{7}\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{13}{7}\cdot 7\Omega =13\Omega$  

 

$b)$  

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R_7=R_8=R$  

$R=3\Omega$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że oporniki 1, 2 i 3 są połączone szeregowo. Układ oporników 1, 2, 3 z opornikiem 4 jest połączony równolegle. Układ oporników 1, 2, 3, 4 z opornikami 5 i 6 jest połączony szeregowo. Układ oporników 1, 2, 3, 4, 5, 6 z opornikiem 7 jest połączony równolegle. Natomiast układ oporników 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  z opornikiem 8 jest połączony szeregowo. Wyznaczmy opór zastępczy oporników 1, 2 i 3:

$R_{1,2,3}=R_1+R_2+R_3$  

$R_{1,2,3}=R+R+R$  

$R_{1,2,3}=3\cdot R$  

Opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3 i opornika 4 ma postać:

$\frac{1}{R_{1,2,3,4}}=\frac{1}{R_{1,2,3}}+\frac{1}{R_4}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4}}=\frac{1}{3\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4}}=\frac{1}{3\cdot R}+\frac{3}{3\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4}}=\frac{4}{3\cdot R}$  

$R_{1,2,3,4}=\frac{3}{4}\cdot R$  

Opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3, 4 oraz oporników 5 i 6 ma postać:

$R_{1,2,3,4,5,6}=R_{1,2,3,4}+R_5+R_6$  

$R_{1,2,3,4,5,6}=\frac{3}{4}\cdot R+R+R$  

$R_{1,2,3,4,5,6}=\frac{3}{4}\cdot R+\frac{4}{4}\cdot R+\frac{4}{4}\cdot R$  

$R_{1,2,3,4,5,6}=\frac{11}{4}\cdot R$  

Opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz opornika 7 ma postać:

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}=\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}+\frac{1}{R_7}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}=\frac{1}{\frac{11}{4}\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}=\frac{4}{11\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}=\frac{4}{11\cdot R}+\frac{11}{11\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}=\frac{15}{11\cdot R}$  

$R_{1,2,3,4,5,6,7}=\frac{11}{15}\cdot R$  

Ostatecznie opór zastępczy całego układu ma postać:

$R_z=R_{1,2,3,4,5,6,7}+R_8$  

$R_z=\frac{11}{15}\cdot R+R$  

$R_z=\frac{11}{15}\cdot R+\frac{15}{15}\cdot R$  

$R_z=\frac{26}{15}\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{26}{15}\cdot 3\Omega =5,2\Omega$  

 

$c)$  

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R$  

$R=4\Omega$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że oporniki 1 i 2 są połączone szeregowo. Oporniki 3 i 4 również są połączone szeregowo. Natomiast układy oporników 1, 2 i 3, 4 oraz opornik 5 są połączone równolegle. Wyznaczmy opór zastępczy oporników 1 i 2:

$R_{1,2}=R_1+R_2$  

$R_{1,2}=R+R$  

$R_{1,2}=2\cdot R$  

Wyznaczamy opór zastępczy oporników 3 i 4:

$R_{3,4}=R_3+R_4$  

$R_{3,4}=R+R$  

$R_{3,4}=2\cdot R$  

Wyznaczamy całkowity opór zastępczy układu:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_{1,2}}+\frac{1}{R_{3,4}}+\frac{1}{R_5}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{2\cdot R}+\frac{1}{2\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{2\cdot R}+\frac{1}{2\cdot R}+\frac{2}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{4}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{2}{R}$

$R_z=\frac{1}{2}\cdot R$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{1}{2}\cdot 4\Omega =2\Omega$  

 

$d)$  

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R_7=R$  

$R=5,5\Omega$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że oporniki 2 i 3 są połączone ze sobą szeregowo. Układ oporników 2, 3 i opornik 1 są połączone ze sobą równolegle. Uklad oporników 1, 2, 3 i opornik 6 są połączone ze sobą szeregowo. Oporniki 4 i 5 są połączone ze sobą szeregowo. Układy oporników 1, 2, 3, 6 oraz 4, 5 są połączone ze sobą równolegle. Układ oporników 1, 2, 3, 4, 5, 6 i opornik 7 są połączone szeregowo. Wyznaczmy opór oporników 2 i 3:

$R_{3,2}=R_1+R_2$  

$R_{2,3}=R+R$  

$R_{2,3}=2\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy układu oporników 2,3 i opornika 1:

$\frac{1}{R_{1,2,3}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_{2,3}}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3}}=\frac{2}{2\cdot R}+\frac{1}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3}}=\frac{3}{2\cdot R}$  

$R_{1,2,3}=\frac{2}{3}\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3 i opornika 6:

$R_{1,2,3,6}=R_{1,2,3}+R_6$  

$R_{1,2,3,6}=\frac{2}{3}\cdot R+R$  

$R_{1,2,3,6}=\frac{2}{3}\cdot R+\frac{3}{3}\cdot R$  

$R_{1,2,3,6}=\frac{5}{3}\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy oporników 4 i 5:

$R_{4,5}=R_4+R_5$  

$R_{4,5}=R+R$  

$R_{4,5}=2\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3, 6 oraz 4, 5:

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}=\frac{1}{R_{1,2,3,6}}+\frac{1}{R_{4,5}}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}=\frac{1}{\frac{5}{3}\cdot R}+\frac{1}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}=\frac{3}{5\cdot R}+\frac{1}{2\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}=\frac{6}{10\cdot R}+\frac{5}{10\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6}}=\frac{11}{10\cdot R}$  

$R_{1,2,3,4,5,6}=\frac{10}{11}\cdot R$  

Wyznaczamy opór zastępczy całego układu:

$R_z=R_{1,2,3,4,5,6}+R_7$  

$R_z=\frac{10}{11}\cdot R+R$  

$R_z=\frac{10}{11}\cdot R+\frac{11}{11}\cdot R$  

$R_z=\frac{21}{11}\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{21}{11}\cdot 5,5\Omega =10,5\Omega$  

 

$e)$  

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R_7=R$  

$R=6\Omega$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że różnica potencjałów pomiędzy węzłami opornika 3 jest zerowa. Z tego wynika, że opornika 3 nie bierzemy pod uwagę w obliczaniu oporu zastępczego. Oporniki 1, 4 i 5 są połączone szeregowo. Oporniki 2, 6 i 7 są połączone szeregowo. Natomiast układy oporników 1, 4, 5 oraz 2, 6, 7 są połączone równolegle. Obliczmy opór zastępczy oporników 1, 4 i 5:

$R_{1,4,5}=R_1+R_4+R_5$  

$R_{1,4,5}=R+R+R$  

$R_{1,4,5}=3\cdot R$  

Opór zastępczy oporników 2, 6 i 7 ma postać:

$R_{2,6,7}=R_2+R_6+R_7$  

$R_{2,6,7}=R+R+R$  

$R_{2,6,7}=3\cdot R$  

Opór zastępczy całego układu ma postać:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_{1,4,5}}+\frac{1}{R_{2,6,7}}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{3\cdot R}+\frac{1}{3\cdot R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{2}{3\cdot R}$  

$R_z=\frac{3}{2}\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{3}{2}\cdot 6\Omega =9\Omega$  

 

$f)$  

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R_7=R_8=R$  

$R=7\Omega$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że oporniki 1 i 2 są połączone szeregowo. Oporniki 3, 4 i 5 są połączone szeregowo. Układy oporników 1,2 oraz 3, 4, 5 są połączone równolegle. Układ oporników 1, 2, 3, 4, 5 oraz oporniki 6 i 7 są połączone szeregowo. Układ oporników 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 z opornikiem 8 są połączone równolegle. Wyznaczmy opór zastępczy oporników 1 i 2:

$R_{1,2}=R_1+R_2$  

$R_{1,2}=R+R$  

$R_{1,2}=2\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy oporników 3, 4 i 5:

$R_{3,4,5}=R_3+R_4+R_5$  

$R_{3,4,5}=R+R+R$  

$R_{3,4,5}=3\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy układów oporników 1, 2 oraz 3, 4, 5: 

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{1}{R_{1,2}}+\frac{1}{R_{3,4,5}}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{1}{2\cdot R}+\frac{1}{3\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{3}{6\cdot R}+\frac{2}{6\cdot R}$  

$\frac{1}{R_{1,2,3,4,5}}=\frac{5}{6\cdot R}$  

$R_{1,2,3,4,5}=\frac{6}{5}\cdot R$  

Wyznaczmy opór zastępczy układu oporników 1, 2, 3, 4, 5  oraz oporników 6 i 7:

$R_{1,2,3,4,5,6,7}=R_{1,2,3,4,5}+R_6+R_7$  

$R_{1,2,3,4,5,6,7}=\frac{6}{5}\cdot R+R+R$  

$R_{1,2,3,4,5,6,7}=\frac{6}{5}\cdot R+\frac{5}{5}\cdot R+\frac{5}{5}\cdot R$  

$R_{1,2,3,4,5,6,7}=\frac{16}{5}\cdot R$  

Opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_{1,2,3,4,5,6,7}}+\frac{1}{R_8}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{\frac{16}{5}\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{5}{16\cdot R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{5}{16\cdot R}+\frac{16}{16\cdot R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{21}{16\cdot R}$  

$R_z=\frac{16}{21}\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_z=\frac{16}{21}\cdot 7\Omega =\frac{16}{3}\Omega$