$a)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie ${\overrightarrow{F}}_C$  jest siłą Coulomba, ${\overrightarrow{F}}_g$  jest siła ciężkości, $\overrightarrow{N}$  jest siła naciągu nitki. 

Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że:

$F_C=k\cdot \frac{\left|q_1\cdot q_2\right|}{r^2}$  

gdzie $k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$  jest współczynnikiem proporcjonalności, $F_C$  jest siłą oddziaływania pomiędzy ładunkami $q_1$  i $q_2$  znajdującymi się w odległości $r$  od siebie.

W naszym przypadku wartość siły Coulomba przyjmie postać:

$F_C=k\cdot \frac{q\cdot q}{d^2}$  

$F_C=k\cdot \frac{q^2}{d^2}$   

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=m\cdot g$  

gdzie $m$  jest masą, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Korzystamy ze wskazówki:

$\sin \alpha \approx \mathrm{tg}\alpha$   

Korzystając z rysunku zauważmy, że:

$\sin \alpha =\frac{\frac{1}{2}\cdot d}{l}\text{ oraz }\mathrm{tg}\alpha =\frac{F_C}{F_g}$  

Z tego wynika, że:  

$\frac{\frac{1}{2}\cdot d}{l}=\frac{F_C}{F_g}$    

Wówczas otrzymujemy, że zależność odległości naładowanych kulek od ich ładunku ma postać:

$\frac{\frac{1}{2}\cdot d}{l}=\frac{F_C}{F_g}$  

$\frac{d}{2\cdot l}=\frac{k\cdot \frac{q^2}{d^2}}{m\cdot g}\mid \cdot d^2$  

$\frac{d^3}{2\cdot l}=\frac{k\cdot q^2}{m\cdot g}$  

$\frac{d^3}{2\cdot l}=\frac{k}{m\cdot g}\cdot q^2\mid \cdot 2\cdot l$  

$d^3=\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}\cdot q^2\mid \sqrt[3]{}$  

$d=\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{q^2}$  

Zauważmy, że k (współczynnik proporcjonalności), l (długość nitki), m (masa kulki) i g (przyspieszenie ziemskie) są pewnymi stałymi o określonych wartościach. Oznacza to, że: 

$\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}=const$  

Z tego wynika, że:

$d=const\cdot \sqrt[3]{q^2}$  

 

$b)$  

Rozładowana kulka będzie mieć ładunek o wartości zerowej:

$q_r=0C$  

Wówczas kulki przybliżą się do siebie, zetkną się i ponowienie nastąpi podzielenie ładunku na dwie kulki. Oznacza to, że kulki po podziale ładunku zaczną ponownie się odpychać.

 

$c)$  

Korzystając z wzoru wyprowadzonego w podpunkcie a) wyznaczmy wartość jednego ładunku przed rozładowanie kulki:

$d=\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{q^2}$  

Podnosimy do sześcianu i zamieniamy stronami:

$\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}\cdot q^2=d^3\mid \cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}$  

$q^2=d^3\cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}\mid \sqrt{}$  

$q=\sqrt{d^3\cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}}$  

Następnie jedną z kulek rozładowano. Kulki przybliżyły się do siebie i nastąpił ponowny podział ładunku na dwie:

$Q=\frac{q}{2}$  

Wówczas ponownie korzystając z zależności wyznaczonej w podpunkcie a) możemy zapisać, że odległość pomiędzy kulkami po rozładowaniu jednej z kulek wynosi:

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{Q^2}$  

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}$  

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{\frac{q^2}{4}}$   

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{q^2}$   

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{d^3\cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}}\right)}^2}$  

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}}\cdot \sqrt[3]{d^3\cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}}$    

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{\frac{2\cdot k\cdot l}{m\cdot g}\cdot d^3\cdot \frac{m\cdot g}{2\cdot k\cdot l}}$  

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\sout{2\cdot k\cdot l}}{\sout{m\cdot g}}\cdot d^3\cdot \frac{\sout{m\cdot g}}{\sout{2\cdot k\cdot l}}}$       

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{d^3}$   

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot d$   

W zadaniu podane mamy, że:

$d=8cm$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d{}^{\prime }=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\cdot 8cm\approx 0,62996\cdot 8cm=5,03968cm\approx 5cm$