Dane:

  $r=8\text{cm}$  

$d=25\text{cm}$  

Podany mamy promień krzywizny każdego ze zwierciadeł.  Wiemy, że promień krzywizny zwierciadła jest dwukrotnością jego ogniskowej, z tego wynika, że:

$f=\frac{r}{2}$   

 

$\text{a)}$   

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{y}{x}$  

gdzie $x$  jest odległością przedmiotu od zwierciadła, $y$  jest odległością obrazu od zwierciadła.

W zadaniu podane mamy, że:

$p=4$  

Wówczas odległość obrazu od zwierciadła wynosi:

$y=p\cdot x$  

Korzystając z równania zwierciadła wiemy, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie $f$  jest ogniskową zwierciadła, $x$  jest odległością przedmiotu od zwierciadła, $y$  jest odległością obrazu od zwierciadła.

Z tego wynika, że odległość przedmiotu od zwierciadła wklęsłego będzie miała postać:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f}$  

$\frac{1}{x}+\frac{1}{p\cdot x}=\frac{1}{f}$  

$\frac{p}{p\cdot x}+\frac{1}{p\cdot x}=\frac{1}{\frac{r}{2}}$   

$\frac{p+1}{p\cdot x}=\frac{2}{r}$    

Wymnażamy na krzyż:

$2\cdot p\cdot x=r\cdot \left(p+1\right)\mid :\left(2\cdot p\right)$  

$x=r\cdot \frac{p+1}{2\cdot p}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=8\text{cm}\cdot \frac{4+1}{2\cdot 4}=8\text{cm}\cdot \frac{5}{8}=5\text{cm}$   

 

$\text{b)}$  

 

Obraz powstały w zwierciadle wklęsłym jest: odwrócony, rzeczywisty, powiększony.

Obraz powstały w zwierciadle wypukłym jest: prosty, pozorny, pomniejszony.

 

$\text{c)}$  

Korzystając z równania zwierciadła wiemy, że:

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie $f$  jest ogniskową zwierciadła, $x$  jest odległością przedmiotu od zwierciadła, $y$  jest odległością obrazu od zwierciadła.

Przyjmujemy, że $x_1$  jest odległością przedmiotu od zwierciadła wklęsłego i wynosi 5 cm.

Otrzymujemy, że odległość obrazu od zwierciadła wklęsłego ma postać:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f}\mid -\frac{1}{x_1}$   

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f}-\frac{1}{x_1}$    

$\frac{1}{y_1}=\frac{x_1}{f\cdot x_1}-\frac{f}{f\cdot x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{x_1-f}{f\cdot x_1}$  

Z tego wynika, że:

$y_1=\frac{f\cdot x_1}{x-f}$   

$y_1=\frac{\frac{r}{2}\cdot x_1}{x_1-\frac{r}{2}}$  

$y_1=\frac{\frac{1}{2}\cdot x_1\cdot r}{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot x_1-r\right)}$  

$y_1=\frac{x_1\cdot r}{2\cdot x_1-r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y_1=\frac{5\text{cm}\cdot 8\text{cm}}{2\cdot 5\text{cm}-8\text{cm}}=\frac{40{\text{cm}}^2}{10\text{cm}-8\text{cm}}=$  

$=\frac{40{\text{cm}}^2}{2\text{cm}}=20\text{cm}$  

Przez $x_2$  oznaczmy odległość obrazu od zwierciadła wypukłego:

$x_2=l-x_1$  

$x_2=25\text{cm}-5\text{cm}=20\text{cm}$  

Otrzymujemy, że odległość obrazu od zwierciadła wypukłego ma postać:

$-\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}=\frac{1}{f}\mid +\frac{1}{x_2}$    

$\frac{1}{y_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_2}$   

$\frac{1}{y_2}=\frac{x_2}{x_2\cdot f}+\frac{f}{x_2\cdot f}$   

$\frac{1}{y_2}=\frac{x_2+f}{x_2\cdot f}$     

Z tego wynika, że:

$y_2=\frac{x_2\cdot f}{x_2+f}$  

$y_2=\frac{x_2\cdot \frac{r}{2}}{x_2+\frac{r}{2}}$  

$y_2=\frac{\frac{1}{2}\cdot x_2\cdot r}{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot x_2+r\right)}$  

$y_2=\frac{x_2\cdot r}{2\cdot x_2+r}$    

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y_2=\frac{20\text{cm}\cdot 8\text{cm}}{2\cdot 20\text{cm}+8\text{cm}}=\frac{80{\text{cm}}^2}{40\text{cm}+8\text{cm}}=$    

$=\frac{160{\text{cm}}^2}{48\text{cm}}=\frac{10}{3}\text{cm}$    

Wówczas odległość obrazów od siebie wynosi:

$L=y_2+\left(d-y_1\right)$  

$L=y_2-y_1+d$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$L=\frac{10}{3}\text{cm}-20\text{cm}+25\text{cm}=\frac{10}{3}\text{cm}+5\text{cm}=3\frac{1}{3}\text{cm}+5\text{cm}=8\frac{1}{3}\text{cm}$  

 

$\text{d)}$  

Pomniejszenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{x}{y}$

gdzie $x$  jest odległością przedmiotu od zwierciadła, $y$  jest odległością obrazu od zwierciadła.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$p=\frac{x_2}{y_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p=\frac{20\text{cm}}{\frac{10}{3}\text{cm}}={\sout{20}}^2\cdot \frac{3}{{\sout{10}}^1}=2\cdot 3=6$