Dwie soczewki 1 i 2 o ogniskowych...- Zadanie Zadanie 12.77: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$f_{1} = 15 c m$

$f_{2} = 30 c m$

$d = 90 c m$

Wykonajmy schemat pomocniczy układu soczewek na osi liczbowej:

Dla soczewki skupiającej mamy równanie:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie f jest ogniskową soczewki, x jest odległością obrazu od soczewki, y jest odległością obrazu od soczewki. Wyznaczmy wzór na odległość obrazu od soczewki:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f} ∣ - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x}{f \cdot x} - \frac{f}{f \cdot x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x - f}{f \cdot x}$

Z tego wynika, że:

$y = \frac{f \cdot x}{x - f}$

Wówczas otrzymujemy, że dla pierwszej soczewki odleglość obrazu od soczewki będzie miała postać:

$y_{1} = \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}}$

Dla drugiej soczewki odległość przedmiotu od obrazu będzie miała postać:

$y_{2} = \frac{f _{2} \cdot x _{2}}{x _{2} - f _{2}}$

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p = \frac{y}{x}$

gdzie x jest odległością przedmiotu od soczewki, y jest odległością obrazu od soczewki. Jeżeli:

$p > 1 to obraz jest powi ę kszony$

$p < 1 to obraz jest pomniejszony$

$p = 1 to obraz nie zmienia wielko \overset{s}{ˊ} ci$

Wówczas dla poszczególnych soczewek ich powiększenie wyrażamy wzorem:

$p_{1} = \frac{y _{1}}{x _{1}}$

Dla drugiej soczewki powiększenie obrazu przedstawiamy wzorem:

$p_{2} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$

Z właściwości soczewki wypukłej wiemy, że jeżeli:

$x > f to obraz jest rzeczywisty$

$a)$

Obrazy mają być powiększone i rzeczywiste. Wówczas muszą spełnione być warunki:

$1) p_{1} > 1 i 2) x_{1} > f_{1} oraz 3) p_{2} > 1 i 4) x_{2} > f_{2}$

Dla pierwszego warunku mamy, że:

$p_{1} > 1$

$\frac{y _{1}}{x _{1}} > 1 ∣ \cdot x_{1}$

$y_{1} > x_{1}$

$\frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} > x_{1} ∣ : x_{1}$ $\frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} > x_{1} ∣ : x_{1}$

$\frac{f _{1}}{x _{1} - f _{1}} > 1 ∣ \cdot (x_{1} - f_{1})$

$f_{1} > x_{1} - f_{1} ∣ + f_{1}$

$2 \cdot f_{1} > x_{1}$

$2 \cdot 15 c m > x_{1}$

$30 c m > x_{1}$

Dla drugiego warunku mamy, że:

$x_{1} > f_{1}$

$x_{1} > 15 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{1} \in (15 c m, 30 c m)$

Dla trzeciego warunku mamy, że:

$p_{2} > 1$

$\frac{y _{2}}{x _{2}} > 1 ∣ \cdot x_{2}$

$y_{2} > x_{2}$

$\frac{f _{2} \cdot x _{2}}{x _{2} - f _{2}} > x_{2} ∣ : x_{2}$

$\frac{f _{2}}{x _{2} - f _{2}} > 1 ∣ \cdot (x_{1} - f_{2})$

$f_{2} > x_{2} - f_{2} ∣ + f_{2}$

$2 \cdot f_{2} > x_{2}$

$2 \cdot 30 c m > x_{2}$

$60 c m > x_{2}$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$30 c m < x_{2}$

Dla czwartego warunku mamy, że:

$x_{2} > f_{2}$

$x_{2} > 30 c m$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$x_{2} < 60 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{2} \in (30 c m, 60 c m)$

Zaznaczmy zbiory na osi liczbowej:

Zauważmy, że zbiory nie maja punktów wspólnych, czyli:

$x_{1} \cap x_{2} = ϕ$

Z tego wynika, że nie ma takiego przedziału, w którym obrazy utworzone przez obydwie soczewki byłyby powiększone.

$b)$

Obrazy mają mieć takie same wielkości jak przedmiot. Wówczas muszą spełnione być warunki:

$1) p_{1} = 1 oraz 2) p_{2} = 1$

Dla pierwszego warunku mamy, że:

$p_{1} = 1$

$y_{1} = x_{1}$

$\frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} = x_{1} ∣ : x_{1}$

$\frac{f _{1}}{x _{1} - f _{1}} = 1 ∣ \cdot (x_{1} - f_{1})$

$f_{1} = x_{1} - f_{1} ∣ + f_{1}$

$2 \cdot f_{1} = x_{1}$

$2 \cdot 15 c m = x_{1}$

$30 c m = x_{1}$

Dla drugiego warunku mamy, że:

$p_{2} = 1$

$y_{2} = x_{2}$

$\frac{f _{2} \cdot x _{2}}{x _{2} - f _{2}} = x_{2} ∣ : x_{2}$

$\frac{f _{2}}{x _{2} - f _{2}} = 1 ∣ \cdot (x_{1} - f_{2})$

$f_{2} = x_{2} - f_{2} ∣ + f_{2}$

$2 \cdot f_{2} = x_{2}$

$2 \cdot 30 c m = x_{2}$

$60 c m = x_{2}$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$30 c m = x_{2}$

Oznacza to, że aby obrazy nie zmianiały swojej wielkości odległość przedmiotu od pierwszej soczewki wynosi:

$x_{1} \cap x_{2} = 30 c m$

$c)$

Obraz utworzony przez pierwszą soczewką powinien być pomniejszony, a obraz utworzony przez drugą soczewkę pownien być powiększony. Wówczas muszą spełnione być warunki:

$1) p_{1} < 1 i 2) x_{1} > f_{1} oraz 3) p_{2} > 1 i 4) x_{2} > f_{2}$

Dla pierwszego warunku mamy, że:

$p_{1} < 1$

$y_{1} < x_{1}$

$2 \cdot f_{1} < x_{1}$

`30\ cm

Dla drugiego warunku mamy, że:

$x_{1} > f_{1}$

$x_{1} > 15 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{1} \in (30 c m, + \infty)$

Dla trzeciego warunku mamy, że:

$p_{2} > 1$

$\frac{y _{2}}{x _{2}} > 1 ∣ \cdot x_{2}$

$y_{2} > x_{2}$

$\frac{f _{2} \cdot x _{2}}{x _{2} - f _{2}} > x_{2} ∣ : x_{2}$

$\frac{f _{2}}{x _{2} - f _{2}} > 1 ∣ \cdot (x_{1} - f_{2})$

$f_{2} > x_{2} - f_{2} ∣ + f_{2}$

$2 \cdot f_{2} > x_{2}$

$2 \cdot 30 c m > x_{2}$

$60 c m > x_{2}$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$30 c m < x_{2}$

Dla czwartego warunku mamy, że:

$x_{2} > f_{2}$

$x_{2} > 30 c m$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$x_{2} < 60 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{2} \in (30 c m, 60 c m)$

Zaznaczmy zbiory na osi liczbowej:

Z tego wynika, że warunki zostaną spełnione dla przedziału:

$x_{1} \cap x_{2} \in (30 c m, 60 c m)$

Możemy zatem zapisać, że w zależności od współrzędniej x przedmiot może zostać umieszczony:

$30 c m < x < 60 c m$

$d)$

Obraz utworzony przez pierwszą soczewką powinien być powiększony, a obraz utworzony przez drugą soczewkę pownien być pomniejszony. Wówczas muszą spełnione być warunki:

$1) p_{1} > 1 i 2) x_{1} > f_{1} oraz 3) p_{2} < 1 i 4) x_{2} > f_{2}$

Dla pierwszego warunku mamy, że:

$p_{1} > 1$

$y_{1} > x_{1}$

$2 \cdot f_{1} > x_{1}$

$30 c m > x_{1}$

Dla drugiego warunku mamy, że:

$x_{1} > f_{1}$

$x_{1} > 15 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{1} \in (15 c m, 30 c m)$

Dla trzeciego warunku mamy, że:

$p_{2} < 1$

$y_{2} < x_{2}$

$2 \cdot f_{2} < x_{2}$

$60 c m < x_{2}$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$30 c m > x_{2}$

Dla czwartego warunku mamy, że:

$x_{2} > f_{2}$

$x_{2} > 30 c m$

Z tego wynika, że odległość przedmiotu, spełniającewgo warunki dla drugiej soczewki, od pierwszej soczewki wynosi:

$x_{2} < 60 c m$

Wówczas na osi współrzędnych mamy zbiór:

$x_{2} \in (- \infty, 30 c m)$

Zaznaczmy zbiory na osi liczbowej:

Z tego wynika, że warunki zostaną spełnione dla przedziału:

$x_{1} \cap x_{2} \in (15 c m, 30 c m)$

Możemy zatem zapisać, że w zależności od współrzędniej x przedmiot może zostać umieszczony:

$15 c m < x < 30 c m$

$e)$

Jeżeli druga soczewka daje obraz pozorny, to musi zostać spełniony warunek:

$x_{2} < f_{2}$

Oznacza to, że znajduje się w przedziale:

$x_{2} \in (60 c m, 90 c m)$

Wtedy jeżeli:

$x_{1} \in (60 c m, 90 c m)$

To spełnione są warunki:

$x_{1} > 2 \cdot f_{1}$

$x_{1} > y_{1}$

Wówczas obraz utworzony przez pierwszą soczewkę będzie pomniejszony, rzeczywisty i odwrócony.

Jeżeli pierwsza soczewka daje obraz pozorny, to musi zostać spełniony warunek:

$x_{1} < f_{1}$

Oznacza to, że znajduje się w przedziale:

$x_{1} \in (0 c m, 15 c m)$

Wtedy jeżeli:

$x_{2} \in (0 c m, 15 c m)$

To spełnione są warunki:

$x_{2} > 2 \cdot f_{2}$

$x_{2} > y_{2}$

Wówczas obraz utworzony przez drugą soczewkę będzie pomniejszony, rzeczywisty i odwrócony.

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.