Dane:

$\alpha ={60}^{\circ }$  

$n_1=1$  

$n_2=1,44$  

$n_3=1,33$  

$n_4=1,66$

 

$\text{a)}$  

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=n_{\text{2/1}}=\frac{n_2}{n_1}$  

Można to zilustrować rysunkiem:

Kąt załamania w pierwszym ośrodku będzie wynosił:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}\text{, czyli }$  

$\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{n_1}{n_2}$  

$\sin \beta =\frac{n_1}{n_2}\cdot \sin \alpha$  

Wówczas:

$\sin \beta =\frac{1}{1,44}\cdot \sin {60}^{\circ }\approx 0,694444\cdot 0,866\approx 0,60139$   

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\beta \approx {37}^{\circ }$  

Wówczas kąt padania w pierwszym ośrodku będzie wynosił:

${\alpha }_2={37}^{\circ }$   

Kąt załamania w drugim ośrodku będzie wynosił:

$\frac{\sin {\alpha }_2}{\sin {\beta }_2}=\frac{n_3}{n_2}\text{, czyli }$    

$\frac{\sin {\beta }_2}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_2}{n_3}\mid \cdot \sin {\alpha }_2$    

$\sin {\beta }_2=\frac{n_2}{n_3}\cdot \sin {\alpha }_2$    

Wówczas:

$\sin {\beta }_2=\frac{1,44}{1,33}\cdot \sin {37}^{\circ }\approx 1,0827\cdot 0,6018\approx 0,6516$      

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

${\beta }_2\approx {41}^{\circ }$    

Wówczas kąt padania w drugim ośrodku będzie wynosił:

${\alpha }_3={41}^{\circ }$    

Kąt załamania w trzecim ośrodku będzie wynosił:

$\frac{\sin {\alpha }_3}{\sin {\beta }_3}=\frac{n_4}{n_3}\text{, czyli }$   

$\frac{\sin {\beta }_3}{\sin {\alpha }_3}=\frac{n_3}{n_4}\mid \cdot \sin {\alpha }_3$   

$\sin {\beta }_3=\frac{n_3}{n_4}\cdot \sin {\alpha }_3$   

Wówczas:

$\sin {\beta }_3=\frac{1,33}{1,66}\cdot \sin {41}^{\circ }\approx 0,8012\cdot 0,6561\approx 0,52566$       

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

${\beta }_3\approx {32}^{\circ }$    

Wówczas kąt padania w trzecim ośrodku będzie wynosił:

${\alpha }_4={32}^{\circ }$    

Kąt załamania wychodząc z trzeciego ośrodka będzie wynosił:

$\frac{\sin {\alpha }_4}{\sin {\beta }_4}=\frac{n_1}{n_4}\text{, czyli }$    

$\frac{\sin {\beta }_4}{\sin {\alpha }_1}=\frac{n_4}{n_1}\mid \cdot \sin {\alpha }_1$    

$\sin {\beta }_4=\frac{n_4}{n_1}\cdot \sin {\alpha }_4$    

Wówczas:

$\sin {\beta }_4=\frac{1,66}{1}\cdot \sin {32}^{\circ }\approx 1,66\cdot 0,52566\approx 0,8726$       

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

${\beta }_4\approx {60}^{\circ }$     

Pamiętajmy o prawie odbicia. Prawo odbicia formułujemy następująco: kąt odbicia jest równy kątowi padania, a promień padający, promień odbity i normalna leżą w jednej płaszczyźnie.

Wykonajmy rysunek:

 

$\text{b)}$  

Jest to kąt:

${\beta }_4\approx {60}^{\circ }$  

 

$\text{c)}$  

Szybkość światła w zależności od ośrodka przedstawimy wzorem:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$  

Współczynnik załamania światła w powietrzu wynosi:

$n_1=1$   

Wiemy, że prędkość światła w powietrzu wynosi:

$v_1\approx 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

Wówczas prędkość światła w pierwszym ośrodku, do którego wpada światło będzie wynosiła:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}\text{, czyli }$  

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{n_1}{n_2}\mid \cdot v_1$  

$v_2=\frac{n_1}{n_2}\cdot v_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_2=\frac{1}{1,44}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 0,6944444\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}=2,0833332\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 2,08\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

Prędkość światła w drugim ośrodku będzie wynosiła:

$\frac{v_2}{v_3}=\frac{n_3}{n_2}\text{, czyli }$   

$\frac{v_3}{v_2}=\frac{n_2}{n_3}\mid \cdot v_2$   

$v_3=\frac{n_2}{n_3}\cdot v_2$   

$v_3=\frac{n_2}{n_3}\cdot \frac{n_1}{n_2}\cdot v_1$   

$v_3=\frac{n_1}{n_3}\cdot v_2$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_3=\frac{1}{1,33}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 0,75188\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}=2,25564\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 2,26\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

Prędkość światła w trzecim ośrodku będzie wynosiła:

$\frac{v_3}{v_4}=\frac{n_4}{n_3}\text{, czyli }$  

$\frac{v_4}{v_3}=\frac{n_3}{n_4}\mid \cdot v_3$  

$v_4=\frac{n_3}{n_4}\cdot v_3$  

$v_4=\frac{n_3}{n_4}\cdot \frac{n_1}{n_3}\cdot v_1$  

$v_4=\frac{n_1}{n_4}\cdot v_2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_4=\frac{1}{1,66}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 0,60241\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}=1,80723\cdot {10}^8\frac{m}{s}\approx 1,81\cdot {10}^8\frac{m}{s}$