Rozwiąż zadanie 2.47*, przyjmując, że ściana klocka...- Zadanie 2.48*: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 1. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$m_{1} = 0, 20 k g$

$m_{2} = 0, 05 k g$

$f = 0, 2$

$l = 0, 9 m$

$t = 2 s$

Przyjmujemy, że:

$g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$

Zanim zaczniem odpowiadać na poszczególne podpunktu musimy wykonać rachunki pomocnicze. Zacznijmy od podzielenia sobie ruchu klocka na dwa etapu. I etap - przed zerwaniem nici, II etap - po zerwaniu nici.

I ETAP

Zapiszmy układ równań sił działających na klocka i obciążnik:

${m_{1} a = F_{N} - T m_{2} a = F_{g} - F_{N}$

gdzie a jest przyspieszniem układu, m₁ jest masą klocka, m₂ jest masą obciążnika, T jest siłą tarcia o podłoże klocka, F_g jest siłą ciężkości działającą na obciążnik, F_N jest siłą naciągu nici. Siłę tarcia możemy przedstawić jako iloczyn współczynnika tarcia klocka i siły nacisku na podłoże tego klocka:

$T = f N$

Natomiast w naszym przypadku siła nacisku jest równa sile ciężkości działającej na klocek, dlatego możemy zapisać, że:

$T = f m_{1} g$

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Siłe ciężkości działającą na obciąznik możemy zapisać wzorem:

$F_{g} = m_{2} g$

Otrzymujemy wówczas układ równań w postaci:

${m_{1} a = F_{N} - f m_{1} g m_{2} a = m_{2} g - F_{N}$

Wyznaczmy z tej zależności przyspiesznie z jakim porusza się układ:

${m_{1} a = F_{N} - f m_{1} g ∣ + f m_{2} g m_{2} a = m_{2} g - F_{N}$

${m_{1} a + f m_{1} g = F_{N} m_{2} a = m_{2} g - F_{N}$

${F_{N} = m_{1} a + f m_{1} g m_{2} a = m_{2} g - F_{N}$

${F_{N} = m_{1} a + f m_{1} g m_{2} a = m_{2} g - (m_{1} a + f m_{1} g)$

Skorzystajmy tylko z drugiego równania:

$m_{2} a = m_{2} g - (m_{1} a + f m_{1} g)$

$m_{2} a = m_{2} g - m_{1} a - f m_{1} g ∣ + m_{1} a$

$m_{1} a + m_{2} a = m_{2} g - f m_{1} g$

$(m_{1} + m_{2}) a = g (m_{2} - f m_{1}) ∣ : (m_{1} + m_{2})$

$a = \frac{g ( m _{2} - f m _{1} )}{m _{1} + m _{2}}$

Jest to przyspiesznie ciała na I etapie ruchu. Wprowadźmy dla tego przyspieszenia oznaczenie:

$a_{I} = a$

Wówczas:

$a_{I} = \frac{g ( m _{2} - f m _{1} )}{m _{1} + m _{2}}$

Wówczas drogę przebytą na I etapie obliczymy korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$s_{I} = \frac{1}{2} a_{I} t^{2}$

gdzie s_I jest drogą, a_I jest przyspieszeniem, t jest czasem ruchu. Wówczas otrzymujemy, że drogę przebytą na I etapie ruchu obliczymy z zależności:

$s_{I} = \frac{1}{2} \cdot \frac{g ( m _{2} - f m _{1} )}{m _{1} + m _{2}} \cdot t^{2}$

$s_{I} = \frac{g t ^{2} ( m _{2} - f m _{1} )}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

II ETAP

Po zerwaniu się nici klocek będzie się poruszać z pewną prędkością początkową, którą nabędzie w pierwszym etapie ruchu:

$v = a_{I} \cdot t$

gdzie a_I jest przyspieszniem jakie będzie miał klocek przed zerwaniem się nici, t jest czasem ruchu w pierwszym etapie ruchu. Klocek będzie poruszał się na tym etapie ruchem jednostajnie opóźnionym. Wyznaczmy opóźnienie tego ciała. Zapiszy równanie ruchu dla klocka po zerwaniu się nitki:

$m_{1} a_{I I} = T$

gdzie a_II jest przyspieszeniem (w tym przypadku opóźnieniem) klocka, T jest siłą tarcia jaka działa na ten klocek. Możemy zatem zapisać, że:

$m_{1} a_{I I} = f m_{1} g ∣ : m_{1}$

$a_{I I} = f g$

Korzystając teraz z wzoru na drogę w ruchu jednostanie przyspieszonym obliczmy drogę na II etapie ruchu:

$s_{I I} = \frac{1}{2} a_{I I} t_{I I}^{2}$

Nie znamy czasu ruchu na drugim etapie, dlatego korzystamy z zależności:

$t_{I I} = \frac{v}{a _{I I}}$

gdzie t jest czasem ruchu na drugim etapie, v jest prędkością jaką osiągnie klocek do zerwania się nici, a_II jest przyspieszeniem klocka na II etapie ruchu. Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że droga wynosi:

$s_{I I} = \frac{1}{2} a_{I I} \cdot (\frac{v}{a _{I I}})^{2}$

$s_{I I} = \frac{1}{2} a_{I I} \cdot \frac{v ^{2}}{a _{I I}^{2}}$

$s_{I I} = \frac{v ^{2}}{2 a _{I I}}$

$s_{I I} = \frac{( a _{I} t ) ^{2}}{2 f g}$

$s_{I I} = a_{I}^{2} \cdot \frac{t ^{2}}{2 f g}$

$s_{I I} = (\frac{g ( m _{2} - f m _{1} )}{m _{1} + m _{2}})^{2} \cdot \frac{t ^{2}}{2 f g}$

$s_{I I} = \frac{g ^{2} ( m _{2} - f m _{1} ) ^{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2}} \cdot \frac{t ^{2}}{2 f g}$

$s_{I I} = \frac{g t ^{2}}{2} \frac{( m _{2} - f m _{1} ) ^{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2} f}$

Odpowiedzmy teraz na poszczególne podpunkty:

$a)$

Musimy obliczyć całkowitą drogę jaką pokonał klocek:

$s = s_{I} + s_{I I}$

Korzystamy z wyznaczonych zależności:

$s = \frac{g t ^{2} ( m _{2} - f m _{1} )}{2 ( m _{1} + m _{2} )} + \frac{g t ^{2}}{2} \frac{( m _{2} - f m _{1} ) ^{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2} f}$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} (1 + \frac{m _{2} - f m _{1}}{( m _{1} + m _{2} ) f})$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} (\frac{( m _{1} + m _{2} ) f}{( m _{1} + m _{2} ) f} + \frac{m _{2} - f m _{1}}{( m _{1} + m _{2} ) f})$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} (\frac{( m _{1} + m _{2} ) f + m _{2} - f m _{1}}{( m _{1} + m _{2} ) f})$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} \cdot \frac{m _{1} f + m _{2} f + m _{2} - f m _{1}}{( m _{1} + m _{2} ) f}$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} \cdot \frac{m _{2} f + m _{2}}{( m _{1} + m _{2} ) f}$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} - f m _{1}}{m _{1} + m _{2}} \cdot \frac{m _{2} ( f + 1 )}{( m _{1} + m _{2} ) f}$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{( m _{2} - f m _{1} ) \cdot m _{2} ( f + 1 )}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2} f}$

$s = \frac{g t ^{2}}{2} \cdot \frac{m _{2} ( m _{2} - f m _{1} ) ( f + 1 )}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2} f}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s = \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 2 s ) ^{2}}{2} \cdot \frac{0 , 05 k g \cdot ( 0 , 05 k g - 0 , 2 \cdot 0 , 20 k g ) \cdot ( 0 , 2 + 1 )}{( 0 , 20 k g + 0 , 05 k g ) ^{2} \cdot 0 , 2} = \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 4 s ^{2}}{2} \cdot \frac{0 , 05 k g \cdot ( 0 , 05 k g - 0 , 04 k g ) \cdot 1 , 2}{( 0 , 25 k g ) ^{2} \cdot 0 , 2} =$

$= \frac{40 m}{2} \cdot \frac{0 , 05 k g \cdot 0 , 01 k g \cdot 1 , 2}{0 , 0625 k g ^{2} \cdot 0 , 2} = 20 m \cdot \frac{0 , 0006 k g ^{2}}{0 , 0125 k g ^{2}} = 20 m \cdot 0, 048 = 0, 96 m$

Otrzymaliśmy, że droga jaką przebył klocek jest większa niż odległość klocka od bloczka. Oznacza to, że klocek uderzy w bloczek.

$b) i c)$

Odpowiedź brzemiała NIE. Prędkość z jaką klocek uderzy o bloczek będzie różnicą prędkości jaką osiagnie klocek do zerwania się nici i prędkości jaką osiągnie poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym.

$v_{k} = v_{p} - a_{I I} t_{I I}$

gdzie v_p jest prędkością początkową klocka na drugim etapie ruchu, a_II jest przyspieszeniem klocka na II etapie ruchu, t_II jest czasem w jakim klocek pokonał II etap ruchu. Wiemy natomiast, że korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym otrzymujemy równanie:

$s = v_{p} \cdot t - \frac{1}{2} a_{I I} t^{2}$

Obliczmy teraz prędkość początkową klocka. Skorzystajmy z zależlości, że prędkość początkowa klocka na drugim etapie ruchu będzie iloczynem przyspieszenie klocka na pierwszym etapie ruchu i czasu po jakim zerwała się nić:

$v_{p} = a_{I} \cdot t$

Wówczas otrzymujemy, że:

$v_{p} = \frac{g ( m _{2} - f m _{1} )}{m _{1} + m _{2}} \cdot t$

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$v_{p} = \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 05 k g - 0 , 2 \cdot 0 , 20 k g )}{0 , 20 k g + 0 , 05 k g} \cdot 2 s = \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 05 k g - 0 , 04 k g )}{0 , 25 k g} \cdot 2 s = \frac{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 0 , 01 k g}{0 , 25 k g} \cdot 2 s =$

$= \frac{0 , 1 k g}{0 , 25 k g} \cdot 2 s = 0, 4 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 2 s = 0, 8 \frac{m}{s}$

Obliczmy teraz wartość przyspieszenia na drugim etapie ruchu:

$a_{I I} = f \cdot g$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{I I} = 0, 2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Wiemy, że droga przebyta w w tym ruchu będzie różnicą całkowitej długości toru ruchu (to jest 0,9 m) i drogi jaka została przebyta przez klocek w I etapie ruchu. Oznacza to, że droga ruchu klocka wynosi:

$s = l - s_{I} \Rightarrow s = 0, 9 m - 0, 8 m = 0, 1 m$

Oznacza to, że nasze równanie przyjmie postać:

$0, 1 m = 0, 8 \frac{m}{s} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot t^{2}$

$0, 1 m = 0, 8 \frac{m}{s} \cdot t - 1 \frac{m}{s ^{2}} \cdot t^{2}$

Widzimy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Rozwiążmy je pomijając jednostki układu SI:

$0, 1 = 0, 8 t - t^{2} ∣ + t^{2} - 0, 8 t$

$t^{2} - 0, 8 t + 0, 1 = 0$

Wiemy, że ogólną postać równania kwadratowego przedstawia się wzorem:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Oznacza to, że w naszym przypadku:

$a = 1$

$b = - 0, 8$

$c = 0, 1$

$x = t$

Zacznijmy od obliczenia delty z równania. Wzór na deltę ma postać:

$Δ = b^{2} - 4 a c \Rightarrow Δ = (- 0, 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0, 1 = 0, 64 - 0, 4 = 0, 24$

Delta wyszła nam dodatnia, czyli będziemy mieli dwa rozwiązania równania kwadratowego:

$Δ > 0 \Rightarrow 2 rozwi ą zania$

Pierwiastek z delty wynosi:

$Δ = 0, 24 \approx 0, 4899$

Wówczas rozwiązania równania kwadratowego mają postać:

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} oraz x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

Dla naszego przypadku mamy, że:

$t_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} oraz t_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

Obliczmy rozwiązania równanie kwadratowego:

$t_{1} = \frac{- ( - 0 , 8 ) - 0 , 4899}{2 \cdot 1} = \frac{0 , 8 - 0 , 4899}{2} = \frac{0 , 3101}{2} = 0, 15505 \approx 0, 16$

$t_{2} = \frac{- ( - 0 , 8 ) + 0 , 4899}{2 \cdot 1} = \frac{0 , 8 + 0 , 4899}{2} = \frac{1 , 2899}{2} = 0, 64495 \approx 0, 65$

Z zadania 2,47* wiemy, że całkowity czas ruchu na drugim etapie, gdyby klocek nie uderzył o bloczek wynosi:

$t = 0, 4 s$

Z naszych obliczeń wyszło nam, że:

$t_{1} = 0, 16 s, czyli t_{1} < 0, 4 s$

$t_{2} = 0, 65 s, czyli t_{2} > 0, 4 s$

Oznacza to, że czas ruchu w tym przypadku będzie wynosił:

$t_{I I} = 0, 16 s$

Korzystamy teraz z wzoru na prędkość końcową:

$v_{k} = v_{p} - a_{I I} t_{I I}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{k} = 0, 8 \frac{m}{s} - 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 0, 16 s = 0, 8 \frac{m}{s} - 0, 32 \frac{m}{s} = 0, 48 \frac{m}{s} \approx 0, 5 \frac{m}{s}$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.