Z wykresu odczytujemy, że:

$v_{\max }=3,14\frac{cm}{s}=3,14\cdot \frac{0,01m}{s}=0,0314\frac{m}{s}$  

$T=4s$  

 

$1.1.$  

Prędkość kątową obliczamy korzystając z wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\omega =\frac{2\cdot 3,14}{4s}=1,57\frac{rad}{s}$  

 

Amplitudę drgań wyznaczamy korzystając z wzoru na prędkość maksymalną:

$v_{\text{max}}=A\omega$  

$v_{\text{max}}=A\cdot \frac{2\pi }{T}\mid \cdot \frac{T}{2\pi }$  

$A=v_{\text{max}}\cdot \frac{T}{2\pi }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$A=0,0314\frac{m}{s}\cdot \frac{4s}{2\cdot 3,14}=0,02m=2cm$  

 

$1.2.$  

Ogólny wzór na wychylenie ma postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$    

Gdzie:

$A=0,02m$  

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$  

$\varphi =0$  

Wówczas równanie opisujące zależność wychylenia od czasu ma postać:

$x\left(t\right)=0,02\sin \left(\frac{\pi }{2}\cdot t\right)$  

 

$1.3.$    

Korzystamy z równania wychylenia od czasu i wykonujemy rysunek:

 

$1.4.$  

• od 0 s do 1 s
• od 2 s do 3 s
• od 4 s do 5 s
• od 6 s do 7 s
• od 8 s do 9 s
• od 10 s do 11 s

 

$1.5.$    

Wiemy, że ogólny wzór na prędkość ma postać:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\varphi \right)$  

Gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

$\varphi =0$  

Wówczas otrzymujemy wzór w postaci:

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że dla:

$t=\frac{T}{4}+k\frac{T}{2}$  

wartość prędkości drgającego punktu materialnego będzie wynosiła zero, gdzie k=0,1,2,... 

Zapisujemy wówczas, że:

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot \left(\frac{T}{4}+k\frac{T}{2}\right)\right)$  

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot T\left(\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\right)\right)$  

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(2\pi \left(\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\right)\right)$  

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(2\pi \left(\frac{1}{4}+\frac{2k}{4}\right)\right)$  

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(2\pi \frac{1+2k}{4}\right)$  

$v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\left(1+2k\right)\right)$  

 Wiemy teraz, że:

$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$  

Dla każdej liczby naturalnej k podstawionej do naszego równania wartość:

$1+2k$  

będzie liczbą nieparzystą:

$\text{dla}k=0\text{jest}1+2\cdot 0=1$  

$\text{dla}k=1\text{jest}1+2\cdot 1=1+2=3$  

$\text{dla}k=2\text{jest}1+2\cdot 2=1+4=5$  

$\text{itd}\dots$   

Wówczas równanie na prędkość w zależności od liczby k będzie miało postać:

$\text{dla}k=0\text{:}v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\left(1+2\cdot 0\right)\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\cdot 1\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot 0=0$  

$\text{dla}k=1\text{:}v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\left(1+2\cdot 1\right)\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\cdot \left(1+2\right)\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\cdot 3\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot 0=0$  

$\text{dla}k=2\text{:}v\left(t\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\left(1+2\cdot 2\right)\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\cdot \left(1+4\right)\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\cdot 5\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{5\pi }{2}\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(2\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2\pi A}{T}\cdot 0=0$   $\text{itd}\dots$    

 

$1.6.$  

Korzystamy z wzoru na prędkość chwilową w postaci:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\varphi \right)$  

Gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$A=\frac{v_{\text{max}}\cdot T}{2\pi }$  

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

$\varphi =0$  

Wówczas wzór na prędkość chwilową będzie miał postać:

$v\left(t\right)=\frac{v_{\max }\cdot T}{2\pi }\cdot \frac{2\pi }{T}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

$v\left(t\right)=v_{\text{max}}\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

 Szukamy po jakim czasie prędkość chwilowa osiągnie wartość równą połowie jego maksymalnej prękości:

$v\left(t\right)=\frac{v_{\max }}{2}$  

Podstawiamy wyznaczone zależności do wzoru:

$v_{\text{max}}\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=\frac{v_{\text{max}}}{2}\mid :v_{\text{max}}$  

$\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=\frac{1}{2}$  

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$\frac{2\pi }{T}\cdot t=\frac{\pi }{3}\mid :2\pi$  

$\frac{t}{T}=\frac{1}{6}\mid \cdot T$  

$t=\frac{T}{6}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{4s}{6}=\frac{2}{3}s$  

Na wykresie zaznaczamy punkty:

$t_1=\frac{2}{3}s$  

$t_2=t_1+\Delta t$    

Gdzie:

$\Delta t=\frac{2}{3}s$  

Drugim punktem będzie:

$t_2=t_1+\Delta t=\frac{2}{3}s+\frac{2}{3}s=\frac{4}{3}s$     

Zaznaczamy punkty na wykresie: