$16.1.$  

Przyjmujemy, że:

${\pi }^2\approx 10$  

Tabela I

Korzystając z wykresu dołączonego do zadania możemy odczytać, że okresy ruchu dla poszczególnych ciężarków wynoszą:

$T_1=4s$  

$T_2=8s$  

$T_3=4s$  

Wiemy, że częstotliwość możemy przedstawić wzorem:

$f=\frac{1}{T}$  

gdzie f jest częstotliwością, T jest okresem drgań. Wówczas dla poszczególnych ciężarków otrzymujemy, że:

$f_1=\frac{1}{T_1}\Rightarrow f_1=\frac{1}{4s}=0,25Hz$  

$f_2=\frac{1}{T_2}\Rightarrow f_2=\frac{1}{8s}=0,125Hz$  

$f_3=\frac{1}{T_3}\Rightarrow f_3=\frac{1}{4s}=0,25Hz$  

Zauważmy, że:

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{0,25Hz}{0,125Hz}=2$  

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{4s}{8s}=\frac{1}{2}$  

Z tego wynika, że:

I. Częstotliwość drgań ciężarka I jest A dwa razy większa od częstotliwości drgań ciężarka II ponieważ, 2 jego okres jest dwa razy krótszy. 

Tabela II

Wiemy, że przyspieszenie w ruchu harmonicznym przedstawiamy wzorem:

$a=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\varphi \right)$  

gdzie a jest przyspieszeniem, A jest amplitudą, ω jest częstością, t jest czasem, Φ jest fazą. Rozważamy amplitudę drgań. Amplituda drgań jest wtedy, gdy wartość przyspieszenia jest największa oraz kąt wychylenia jest największy, czyli jest kątem prostym:

$a=a_{\text{max}}$  

$\omega t+\varphi ={90}^{\circ }\Rightarrow \sin \left(\omega t+\varphi \right)=1$  

Wówczas dla drugiego ciężarka otrzymujemy równanie:

$a_{\text{max}}=-A{\omega }^2$  

Wówczas:

$A=-\frac{a_{\text{max}}}{{\omega }^2}$  

$A=-\frac{a_{\text{max}}}{{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2}$  

$A=-\frac{a_{\text{max}}}{\frac{4{\pi }^2}{T^2}}$  

$A=-\frac{a_{\text{max}}{T}^2}{4{\pi }^2}$     

Z wykresu odczytujemy, że:

$a_{\text{max3}}=-1\frac{m}{s^2}$   

$T_3=4s$       

Podstawiamy dane liczbowe do wzory:

$A=-\frac{-1\frac{m}{s^2}\cdot {\left(4s\right)}^2}{4\cdot 10}=\frac{1\frac{m}{s^2}\cdot 16s^2}{40}=\frac{16m}{40}=0,4m$  

Z tego wynika, że:

II. Amplituda drgań ciężarka III wynosi A 0,4 m.

 

$16.2.$   

Korzystając z wykresy widzimy, że ciężarki I i III mają takie same okresy ruchu. Z tego wynika, że:

W rezonans mogą wpaść ciężarki	I	✘	i	I,		ponieważ ich	A		amplitudy są różne.
	II			II,			B	✘	okresy są równe.
	III			III,	✘		C		okresy są różne.

 

$16.3.$  

Wiemy, że zależność wychylenia od czasu przedstawiamy wzorem:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$  

gdzie x jest wychyleniem tego ciężarka, A jest amplitudą, ω jest częstością, t jest czasem, Φ jest fazą. Z wykresu zależności przyspieszenia od czasu dla drugiego ciężarka możemy odczytać, że:

$T_2=8s$  

$a_{\text{max2}}=-1\frac{m}{s^2}$   

${\varphi }_2=0$  

Obliczmy amplitudę drgań:

$A_2=-\frac{a_{\text{max2}}{T}_2^2}{4\cdot {\pi }^2}\Rightarrow A_2=-\frac{-1\frac{m}{s^2}\cdot {\left(8s\right)}^2}{4\cdot 10}=\frac{1\frac{m}{s^2}\cdot 64s^2}{40}=\frac{64m}{40}=1,6m$  

Obliczmy częstość drgań:

${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2}\Rightarrow {\omega }_2=\frac{2\cdot 3,14}{8s}=\frac{6,28}{8s}=0,785\frac{\text{rad}}{s}$  

Wówczas zależność wychylenia od czasu możemy przedstawić wzorem (pomijamy jednostki układu SI):

$x_2\left(t\right)=1,6\cdot \sin \left(0,785\cdot t\right)$   

Korzystając z arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel wykonujemy tabelę z wynikami pomiarów dla poszczególnych czasów:

W kolumnie B komórce  B2 wpisana została komenda: =1,6*sin(0,785*A2). Następnie komendę tą rozszerzono do komórek od B2 do B18. Korzystając z funkcji Excela wykonano wykres zależności x(t):

 

$16.4.$  

Energię potencjalną w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$E_p=\frac{k{x}^2}{2}$  

gdzie E_p jest energią potencjalną w ruchu harmonicznym, k jest współczynnikiem sprężystości, x jest wartością wychylenia. Energię całkowitą w ruchu harmonicznym przedstawiamy wzorem (maksymalna energia potencjalna):

$E_c=\frac{k{A}^2}{2}$  

gdzie E_c jest całkowita energia w ruchu harmonicznym, k jest współczynnikiem sprężystości, A jest amplitudą drgań. Całkowita energia mechaniczna może zostać przedstawiona jako suma energii potencjalnej i kinetycznej:

$E_c=E_p+E_k$  

Wówczas energia kinetyczna będzie miała postać: 

$E_p+E_k=E_c\mid -E_p$  

$E_k=E_c-E_p$     

$E_k=\frac{k{A}^2}{2}-\frac{k{x}^2}{2}$     

$E_k=\frac{k}{2}\left(A^2-x^2\right)$     

Energia kinetyczna drgającego ciężarka nie jest wprost proporcjonalna do wychylenia, chociaż zależy od kwadratu jego wychylenia. Można zauważyć, że wraz ze wzrostem wychylenia energia kinetyczna zmniejsza się.