Pod tłokiem o polu powierzchni...- Zadanie 7.15.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$S = 100 c m^{2} = 0, 01 m^{2}$

$a = 40 c m = 0, 4 m$

$T_{1} = 12^{\circ} C = 285 K$

$p_{1} = 1010 h P a = 101000 P a$

$m = 20 k g$

$Δ x = 5 c m = 0, 05 m$

Przyjmujemy, że przyspieszenie ziemskie wynosi:

$g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$

Na tłok po nałożeniu na niego obciążnika działa siła parcia równoważąca siłę ciężkości obciążnika:

$F_{p} = F_{g}$

gdzie F_p jest siła parcia, F_g jest siła ciężkości. Siłę parcia wyrażamy wzorem:

$F_{p} = p \cdot S$

gdzie p jest ciśnieniem jakie wywierane jest na pole o powierzchni S. W naszym przypadku siła parcia będzie pochodziła od zmiany ciśnienia:

$F_{p} = Δ p S$

Siłę ciężkości wyrażamy wzorem:

$F_{g} = m g$

gdzie m jest masą, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wówczas zmianę ciśnienia dla przypadku, gdy tłok zostanie obciążony obliczymy z wzoru:

$F_{p} = F_{g}$

$Δ p S = m g ∣ : S$

$Δ p = \frac{m g}{S}$

Wówczas ciśnienie w naczyniu po obciążeniu tłoka obliczymy z zależności:

$Δ p = p_{2} - p_{1} \Rightarrow p_{2} = Δ p + p_{1}$

Wyraźmy objętości naczynia przed i po obciążeniu tłoka obciążnikiem za pomocą danych podanych w zadaniu. Objętość gazu w pojemniku zanim obciążono go tłokiem obliczymy z zależności:

$V_{1} = a S$

gdzie a jest odległością tłoka od dna cylindra, S jest polem powierzchni tłoka. Natomiast objętość gazu w pojemniku po obciążeniu tłoka obliczymy korzystając z wzoru:

$V_{2} = (a - Δ x) S$

gdzie Δx jest odległością o jaką obniżył się tłok.

Równanie Clapeyrona ma postać:

$p V = n R T$

gdzie p jest ciśnieniem, V jest objętością, n jest liczbą moli, R jest stałą gazową, T jest temperaturą. Zapiszmy równanie Clapeyrona dla początkowego stanu gazu, przed zmniejszeniem objętości w naczyniu:

$p_{1} V_{1} = n R T_{1}$

Następnie zapiszmy równanie Clapeyrona po wciśnięciu tłoka obciążnikiem:

$p_{2} V_{2} = n R T_{2}$

Wyznaczmy z tych równań wartości stałe (liczbę moli i stałą gazową):

$p_{1} V_{1} = n R T_{1} \Rightarrow n R = \frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}}$

$p_{2} V_{2} = n R T_{2} \Rightarrow n R = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$

Wówczas otrzymujemy zależność, z której wyznaczmy temperaturę gazu po obniżeniu się tłoka:

$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$

Wymnażamy na krzyż:

$p_{1} V_{1} T_{2} = p_{2} V_{2} T_{1} ∣ : p_{1} V_{1}$

$T_{2} = \frac{p _{2} V _{2}}{p _{1} V _{1}} T_{1}$

$T_{2} = \frac{( Δ p + p _{1} ) ( a - Δ x ) S}{p _{1} a S} T_{1}$

$T_{2} = \frac{( Δ p + p _{1} ) ( a - Δ x )}{p _{1} a} T_{1}$

$T_{2} = \frac{( \frac{m g}{S} + p _{1} ) ( a - Δ x )}{p _{1} a} T_{1}$

$T_{2} = \frac{\frac{1}{S} ( m g + p _{1} S ) ( a - Δ x )}{p _{1} a} T_{1}$

$T_{2} = \frac{( m g + p _{1} S ) ( a - Δ x )}{p _{1} a S} T_{1}$

$T_{2} = \frac{m g + p _{1} S}{p _{1} a S} \cdot (a - Δ x) T_{1}$

$T_{2} = (\frac{m g}{p _{1} a S} + \frac{p _{1} S}{p _{1} a S}) \cdot (a - Δ x) T_{1}$

$T_{2} = \frac{1}{a} \cdot (\frac{m g}{p _{1} S} + \frac{p _{1} S}{p _{1} S}) \cdot (a - Δ x) T_{1}$

$T_{2} = \frac{1}{a} \cdot (\frac{m g}{p _{1} S} + 1) \cdot (a - Δ x) T_{1}$

$T_{2} = (\frac{m g}{p _{1} S} + 1) \cdot \frac{1}{a} (a - Δ x) T_{1}$

$T_{2} = (\frac{m g}{p _{1} S} + 1) (1 - \frac{Δ x}{a}) T_{1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_{2} = (\frac{20 k g \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{101000 P a \cdot 0 , 01 m ^{2}} + 1) \cdot (1 - \frac{0 , 05 m}{0 , 4 m}) \cdot 285 K = (\frac{196 , 2 k g \cdot \frac{m}{s ^{2}}}{1010 P a \cdot m ^{2}} + 1) \cdot (1 - 0, 125) \cdot 285 K =$

$= (\frac{196 , 2 k g \cdot \frac{m}{s ^{2}}}{1010 \frac{k g}{m \cdot s ^{2}} \cdot m ^{2}} + 1) \cdot 0, 875 \cdot 285 K = (\frac{196 , 2 k g \cdot \frac{m}{s ^{2}}}{1010 k g \cdot \frac{m}{s ^{2}}} + 1) \cdot 0, 875 \cdot 285 K \approx (0, 1943 + 1) \cdot 0, 875 \cdot 285 K =$

$= 1, 1943 \cdot 0, 875 \cdot 285 K \approx 297, 8 K = 24, 8^{\circ} C$

Temperatura powietrza wzrosła o ΔΤ, którą możemy przedstawić wzorem:

$Δ T = T_{2} - T_{1}$

Wówczas zmiana temperatury wynosi:

$Δ T = 24, 8^{\circ} C - 12^{\circ} C = 12, 8^{\circ} C$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.