Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$M=140kg$  

$m=45kg$  

$R=1,7m$  

$v=3,4\frac{m}{s}$   

$\omega =1,2\frac{\text{rad}}{s}$   

$f=0,8$  

Moment bezwładności dziecka na karuzeli ma postać:

$I_d=m{r}^2$  

gdzie m to masa dziecka, r jest odległością dziecka od osi obrotu karuzeli. Moment bezwładności karuzeli (traktujemy ją jak krążek) będzie miał postać:

$I_k=\frac{1}{2}M{R}^2$  

gdzie M jest masą karuzeli, R jest promieniem karuzeli.

 

$6.1.$    

Prędkość liniowa z jaką poruszają się dzieci jest równa prędkości liniowej karuzeli. Prędkość kątową karuzeli w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{v}{R}$   

gdzie ω jest prędkością kątową, v jest prędkością liniową, R jest promieniem karuzeli. Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\omega =\frac{3,4\frac{m}{s}}{1,7m}=2\frac{\text{rad}}{s}$   

Jeśli dzieci biegły przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to karuzela będzie poruszała się w przeciwną stronę. Oznacza to, że prędkość kątowa karuzeli będzie zgodna z ruchem wskazówek zegara. 

 

$6.2.$  

Moment bezwładności układu ciał punktowych możemy przedstawić zależnością:

$I=\sum _{i=1}^n{m}_i{R}_i^2$  

gdzie m_i jest masą poszczególnego ciała, R_i jest odległością  tego ciała od osi obrotu. W naszym przypadku dzieci traktujemy jak układ ciał wokół osi obrotu karuzeli. Wówczas moment bezwładności tych dzieci na karuzeli będzie miał postać:

$I_{dz}=\sum _{i=1}^5{m}_i{R}_i^2$  

$I_{dz}=m{R}^2+m{R}^2+m{R}^2+m{R}^2+m{R}^2$  

$I_{dz}=5m{R}^2$  

Moment pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$

gdzie L jest momentem pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Moment pędu poruszającej się karuzeli zanim wskoczyły na nią dzieci ma postać:

$L_{k1}=I_k{\omega }_0$  

$L_{k1}=\frac{1}{2}M{R}^2\frac{v}{R}$  

$L_{k1}=\frac{1}{2}MRv$    

Moment pędu karuzeli, po tym jak wskoczyły na nią dzieci ma postać:

$L_{k2}=\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_2$  

Moment pędu dzieci, które wskoczyły na karuzelę ma postać:

$L_d=I_{dz}{\omega }_2$  

$L_d=5m{R}^2{\omega }_2$  

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy prędkość kątową karuzeli po skoku dzieci:

$L_{k2}+L_d=L_{k1}$  

$\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_2+5m{R}^2{\omega }_2=\frac{1}{2}MRv\mid \cdot 2$  

$M{R}^2{\omega }_2+10m{R}^2\omega =MRv\mid :R$  

$MR{\omega }_2+10mR\omega =Mv$  

$\left(M+10m\right)R\omega =Mv\mid :R\left(M+10m\right)$  

  $\omega =\frac{M}{M+10m}\frac{v}{R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\omega =\frac{140kg}{140kg+10\cdot 45kg}\cdot \frac{3,4\frac{m}{s}}{1,7m}=\frac{140kg}{140kg+450kg}\cdot 2\frac{\text{rad}}{s}=\frac{140kg}{590kg}\cdot 2\frac{\text{rad}}{s}\approx 0,2373\cdot 2\frac{\text{rad}}{s}=$  

$=0,4746\frac{\text{rad}}{s}\approx 0,47\frac{\text{rad}}{s}$     

 

$6.3.$  

Moment pędu dzieci znajdujących się na obwodzie karuzeli przed przeskoczeniem na środek części z nich ma postać:

$L_{d1}=I_{dz}\omega$  

$L_{d1}=5m{R}^2\omega$  

Moment pędu karuzeli przed przeskoczeniem dzieci na środek wynosi:

$L_{k1}=I_k\omega$  

$L_{k1}=\frac{1}{2}M{R}^2\omega$  

Moment pędu jednego dziecka, które zostało na krawędzie karuzeli będzie miało postać:

$L_{d2}=I_d{\omega }_3$  

$L_{d2}=m{R}^2{\omega }_3$  

Moment pędu karuzeli po przeskoczeniu dzieci na jej środek będzie miał postać:

$L_{k2}=I_k{\omega }_3$  

$L_{k2}=\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_3$  

Wyznaczmy prędkość karuzeli wraz z jednym dzieckiem, po przeskoczeniu reszty dzieci na jej środek:

$L_{d2}+L_{k2}=L_{d1}+L_{k1}$  

$m{R}^2{\omega }_3+\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_3=5m{R}^2\omega +\frac{1}{2}M{R}^2\omega \mid \cdot \frac{2}{R^2}$   

$2m{\omega }_3+M{\omega }_3=10m\omega +M\omega$  

$\left(2m+M\right){\omega }_3=\left(10m+M\right)\omega \mid :\left(2m+M\right)$  

   ${\omega }_3=\frac{10m+M}{2m+M}\omega$  

Prędkość liniowa dziecka znajdującego się na krawędzi karuzeli będzie miała postać:

$v_3={\omega }_{3}R$  

Siłę odśrodkową przedstawiamy wzorem:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie F_od jest siłą dośrodkową ciała o masie m poruszającego się z prędkością liniową v po okręgu o promieniu R. Siła odśrodkowa dziecka znajdującego się na krawędzie karuzeli będzie miała postać:

$F_{od}=\frac{m{v}_3^2}{R}$   

$F_{od}=\frac{m{\left({\omega }_{3}R\right)}^2}{R}$  

$F_{od}=\frac{m{\omega }_3^2{R}^2}{R}$  

$F_{od}=m{\omega }_3^{2}R$  

$F_{od}=m{\left(\frac{10m+M}{2m+M}\omega \right)}^{2}R$  

$F_{od}=m{\left(\frac{10m+M}{2m+M}\right)}^2{\omega }^{2}R$     

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_{od}=45kg\cdot {\left(\frac{10\cdot 45kg+140kg}{2\cdot 45kg+140kg}\right)}^2\cdot {\left(1,2\frac{\text{rad}}{s}\right)}^2\cdot 1,7m=45kg\cdot {\left(\frac{450kg+140kg}{90kg+140kg}\right)}^2\cdot 1,44\frac{1}{s^2}\cdot 1,7m=$  

$=45kg\cdot {\left(\frac{590kg}{230kg}\right)}^2\cdot 2,448\frac{m}{s^2}\approx 45kg\cdot {\left(2,565\right)}^2\cdot 2,448\frac{m}{s^2}=45kg\cdot 6,579225\cdot 2,448\frac{m}{s^2}=$  

$=724,767426kg\cdot \frac{m}{s^2}=724,767426N\approx 725N$  

 

$6.4.$  

Aby dziecko nie zostało zrzucone z karuzeli, to siła tarcia musi zrównoważyć lub być większa od siły odśrodkowej. Siłę tarcia przedstawiamy za pomocą wzoru:

$T=fN$  

gdzie T jest siłą tarcia, f jest współczynnikiem tarcia, N jest siłą nacisku na podłoże. W naszym przypadku siła nacisku na podłoże równa jest sile ciężkości. Siłę ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wówczas siła tarcia będzie miała postać:

$T=fN$  

$T=f{F}_g$  

$T=fmg$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=0,8\cdot 45kg\cdot 9,81\frac{m}{s^2}=353,16kg\cdot \frac{m}{s^2}\approx 353N$  

Zauważmy, że:

$T<F_{od}$  

Siła tarcia jest mniejsza od siły odśrodkowej, czyli dziecko nie utrzyma się na karuzeli.