Dzieci usiadły na karuzeli (patrz rysunek) po dwoje na każdej....- Zadanie 4.5.4.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$M = 50 k g$

$m_{p} = 2 k g$

$ω_{1} = 0, 4 \frac{rad}{s}$

$R = 1, 2 m$

$I_{0} = 40 k g \cdot m^{2}$

Moment bezwładności dwójki dzieci o łącznej masie M oddalonych od osi obrotu o R będzie miał postać:

$I_{d} = M \cdot R^{2}$

Moment bezwładności jednej piłki o masie m_p oddalonej od osi obrotu o R będzie miał postać:

$I_{p} = m_{p} \cdot R^{2}$

Moment pędu przedstawiamy wzorem:

$L = I \cdot ω$

gdzie L jest momentem pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności I obracającej się w szybkością kątową ω. Moment pędu karuzeli przed wrzuceniem piłek do kosza będzie miał postać:

$L_{1 k} = I_{0} \cdot ω_{1}$

Moment pędu karuzeli po wrzuceniu piłek do kosza będzie miał postać:

$L_{2 k} = I_{0} \cdot ω_{2}$

Moment pędu jednej dwójki dzieci przed wrzuceniem piłek do kosza będzie miał postać:

$L_{1 d} = I_{d} \cdot ω_{1}$

Moment pędu jednej dwójki dzieci po wrzuceniu po wrzuceniu piłek do kosza będzie miał postać:

$L_{2 d} = I_{d} \cdot ω_{2}$

Moment pędu jednej piłki przed wrzuceniem jej do kosza będzie miał postać:

$L_{1 p} = I_{p} \cdot ω_{1}$

Moment pędu jednej piłki po wrzuceniu jej do kosza będzie zerowy, ponieważ odległość piłki od osi obrotu będzie zerowa:

$L_{2 p} = 0$

Szybkość kątową karuzeli po wrzuceniu piłek do kosza możemy przedstawić wzorem:

$ω_{2} = 2 \cdot π \cdot f_{2}$

gdzie ω₂ jest szybkością kątową, f₂ jest częstotliwością. Z zadania wynika, że mamy trzy pary dzieci oraz sześć piłek. Korzystając z zasady zachowania pędu zapiszmy równanie, z którego wyznaczymy wartość częstotliwości obrotu karuzeli, po wrzuceniu piłek do kosza:

$L_{2 k} + 3 \cdot L_{2 d} + 6 \cdot L_{2 p} = L_{1 k} + 3 \cdot L_{1 d} + 6 \cdot L_{1 p}$

$I_{0} \cdot ω_{2} + 3 \cdot I_{d} \cdot ω_{2} + 6 \cdot 0 = I_{0} \cdot ω_{1} + 3 \cdot I_{d} \cdot ω_{1} + 6 \cdot I_{p} \cdot ω_{1}$

$I_{0} \cdot ω_{2} + 3 \cdot I_{d} \cdot ω_{2} = (I_{0} + 3 \cdot I_{d} + 6 \cdot I_{p}) \cdot ω_{1}$

$(I_{0} + 3 \cdot I_{d}) \cdot ω_{2} = (I_{0} + 3 \cdot I_{d} + 6 \cdot I_{p}) \cdot ω_{1} ∣ : (I_{0} + 3 \cdot I_{d})$

$ω_{2} = \frac{I _{0} + 3 \cdot I _{d} + 6 \cdot I _{p}}{I _{0} + 3 \cdot I _{d}} \cdot ω_{1}$

$2 \cdot π \cdot f_{2} = \frac{I _{0} + 3 \cdot M \cdot R ^{2} + 6 \cdot m _{p} \cdot R ^{2}}{I _{0} + 3 \cdot M \cdot R ^{2}} \cdot ω_{1} ∣ : (2 \cdot π)$

$f_{2} = \frac{I _{0} + 3 \cdot M \cdot R ^{2} + 6 \cdot m _{p} \cdot R ^{2}}{I _{0} + 3 \cdot M \cdot R ^{2}} \cdot \frac{ω _{1}}{2 \cdot π}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_{2} = \frac{40 k g \cdot m ^{2} + 3 \cdot 50 k g \cdot ( 1 , 2 m ) ^{2} + 6 \cdot 2 k g \cdot ( 1 , 2 m ) ^{2}}{40 k g \cdot m ^{2} + 3 \cdot 50 k g \cdot ( 1 , 2 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 4 \frac{rad}{s}}{2 \cdot 3 , 14} = \frac{40 k g \cdot m ^{2} + 3 \cdot 50 k g \cdot 1 , 44 m ^{2} + 6 \cdot 2 k g \cdot 1 , 44 m ^{2}}{40 k g \cdot m ^{2} + 3 \cdot 50 k g \cdot 1 , 44 m ^{2}} \cdot \frac{0 , 4 \frac{rad}{s}}{6 , 28} \approx$

$\approx \frac{40 k g \cdot m ^{2} + 216 k g \cdot m ^{2} + 17 , 28 k g \cdot m ^{2}}{40 k g \cdot m ^{2} + 216 k g \cdot m ^{2}} \cdot 0, 06369 \frac{1}{s} = \frac{273 , 28 k g \cdot m ^{2}}{256 k g \cdot m ^{2}} \cdot 0, 06369 \frac{1}{s} = 1, 0675 \cdot 0, 06369 \frac{1}{s} =$

$= 0, 067989075 \frac{1}{s} \approx 0, 068 H z$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.