Sprężyny można łączyć ze sobą... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Fizyka

Sprężyny można łączyć ze sobą...

Zadanie 7. Sprężyny połączone
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

 

 

 

    

Wykonajmy wykres zależności x(m):

 

  

Połączenie równoległe. 

Wiemy, że siłę sprężystości przedstawiamy wzorem:

 

gdzie F jest siłą  sprężystości, k jest współczynnikiem sprężystości, x jest wydłużenie sprężyny. Siłą sprężystości dwóch sprężyn połączonych równolegle będzie miała postać:

 

gdzie F jest wypadkową siłą sprężystości, F1 jest siłą sprężystości pochodzącą od pierwszej sprężyny, F2 jest siłą sprężystości pochodzącą od drugiej sprężyny. Ponieważ sprężyny połączone są równolegle, to ich wydłużenie jest takie samo:

 

Wówczas z równanie sił działających na sprężyny otrzymujemy, że:

 

 

 

     

Z tego wynika, że:

 

Siłę ciężkości przedstawiamy wzorem:

 

gdzie m jest masą, g jest przyspieszeniem ziemskim. Siła sprężystości zrównoważy siłę ciężkości i wówczas otrzymujemy równanie:

 

 

 

Korzystając z wykresu funkcji możemy zauważyć, że funkcja x(m) jest funkcją liniową. Funkcję liniową przedstawiamy wzorem:

 

gdzie dla naszego przypadku mamy, że współczynnik kierunkowy a, argumenty funkcji m oraz wartości funkcji y wynoszą:

 

 

  

gdzie k jest wypadkowym współczynnikiem sprężystości dla obu sprężyn połączonych równolegle. Korzystając z wykresu funkcji wyznaczmy współczynnik kierunkowy funkcji x(m) dla połączenia równoległego sprężyn. Z wykresu odczytujemy, że:

 

 

Otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynnik kierunkowy funkcji:

 

 

 

Z tego wynika, że:

 

 

Wówczas otrzymujemy, że współczynnik sprężystości wypadkowej siły działającej na sprężyny połączone równolegle będzie miał postać:

 

 

  

Przyjmujemy, że przyspieszenie ziemskie wynosi:

 

Wówczas:

 

Z tego wynika, że:

 

 

 

Połączenie szeregowe

W połączeniu szeregowym siły działające na poszczególne sprężyny spełniają zależność:

 

Natomiast wydłużenie tych sprężyn opisane jest zależnością:

 

Wiemy, że siłą sprężystości przedstawiana jest wzorem:

 

Wówczas wydłużenie sprężyny opiszemy zależnością:

 

Wówczas korzystając z zależności opisującej wydłużenie sprężyn w połączeniu szeregowym otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że:

 

Tak samo jak dla połączenia równoległego wyznaczamy korzystając z wykresu funkcji x(m) dla połączenia szeregowego współczynnik kierunkowy tej funkcji. Z wykresu odczytujemy, że:

 

 

Otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynnik kierunkowy funkcji:

 

 

 

Z tego wynika, że:

 

 

Wówczas otrzymujemy, że współczynnik sprężystości wypadkowej siły działającej na sprężyny połączone szeregowo będzie miał postać:

 

 

  

Wówczas:

 

Wówczas otrzymujemy, że:

 

 

W ten sposób zarówno z połączenia równoległego, jak i szeregowego sprężyn otrzymaliśmy dwa równanie opisujące współczynniki sprężystości tych sprężyn. Wyznaczmy ich wartości liczbowe. Wiemy, że:

 

Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uprośćmy to równanie i pomińmy jednostki:

 

Zauważmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe, w którym:

  

 

 

  

Wówczas delta, tego równania będzie miała postać:

 

 

   

 

Wówczas pierwiastek z delty wynosi:

 

    

Wówczas otrzymujemy dwa rozwiązania:

 

Wówczas otrzymujemy, że:

 

 

Z tego wynika, że ponieważ:

 

To otrzymaliśmy rozwiązania:

 

 

UWAGA! Różnica pomiędzy otrzymanymi wynikami, a wynikami podanymi w odpowiedziach wynika, z przyjętych przybliżeń.

 

 

Energię rozciąganej sprężyny przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie Ex jest energią sprężyny o współczynniku sprężystości k rozciągniętej o długość x. Wówczas praca wykonana przy rozciąganiu sprężyny równa jest zmianie energii potencjalnej tej sprężyny. Zakładamy, że sprężyny połączone szeregowo rozciągamy na taką samą odległość, jak sprężyny połączone równolegle. Wówczas otrzymujemy, że praca wykonana przy rozciąganiu sprężyn połączonych szeregowo wynosi:

 

Natomiast praca wykonana przy rozciąganiu sprężyn równolegle wynosi:

 

Wówczas stosunek pracy wykonanej przy rozciąganiu sprężyn szeregowo do pracy wykonanej przy rozciąganiu sprężyn równolegle wynosi:

 

 

 

 

Z tego wynika, że praca wykonana przy rozciąganiu sprężyn połączonych szeregowo jest cztery razy mniejsza od pracy wykonanej przy rozciąganiu sprężyn połączonych równolegle.

 

 

Z podpunktu 7.2. wiemy, że:

  

 

Wówczas:

 

 

Wtedy otrzymujemy, że:

  

  

  

  

  

  

Zauważmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Wyznaczmy deltę tego równanie:

 

 

 

Chcemy otrzymać jedno konkretne rozwiązanie, wówczas żądamy, aby:

 

 

 

 

Wiemy, że siła sprężystości połączenia równoległego sprężyn będzie równoważyła siłę ciężkości cukru:

 

gdzie Q jest siłą ciężkości i możemy przedstawić ją wzorem:

 

gdzie m jest masą cukru, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wówczas otrzymujemy, że wydłużenie sprężyn w połączeniu równoległym będzie miało postać:

 

 

 

W ten sam sposób wyznaczamy wydłużenie sprężyny dla połączenia szeregowego:

 

 

 

Wówczas zmiana wydłużenia będzie miała postać:

 

 

 

 

 

W zadaniu podane mamy, że:

 

Z podpunktu 7.2. wiemy, że:

 

Wówczas otrzymujemy, że:

 

 

 

W podpunkcie podane mamy, że:

 

 

  

 

Z podpunktu 7.2. wiemy, że dla sprężyn połączonych równolegle mamy równanie:

 

 

 

   

W zadaniu podane mamy, że na gumach równoległych zawieszono ciężarek i wydłużenie ich wyniosło Δx. Z tego wynika, że siła sprężystości zrównoważyła siłę ciężkości ciężarka. Możemy zatem zapisać, że:

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

 

 

W zadaniu podane mamy, że:

 

 

 

 

Pęd ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie p jest pędem ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas pęd wagonu kolejowego będzie wynosił:

 

Pęd wagonu z węglem będzie wynosił:

 

Korzystając z zasady zachowania pędu otrzymujemy, że prędkość wagonu z węglem będzie miała postać:

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

W naszym przypadku mamy cztery sprężyny połączone równolegle, czyli wydłużenie każdej z nich będzie miało postać:

 

Energię rozciąganej sprężyny przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie Ex jest energią sprężyny o współczynniku sprężystości k rozciągniętej o długość x. Zauważmy, że w naszym przypadku mamy cztery sprężyny połączone równolegle, czyli całkowita energia sprężystości tych sprężyn będzie miała postać:

 

 

 

 

 

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie Ek jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas energia kinetyczna wagonu kolejowego będzie miała postać:

 

Natomiast energia kinetyczna wagonu z węglem będzie miała postać:

 

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie, z którego wyznaczymy wydłużenie sprężyn:

 

 

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

  

DYSKUSJA
komentarz do zadania Sprężyny można łączyć ze sobą... - Zadanie Zadanie 7. Sprężyny połączone: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 1. Zakres rozszerzony - strona 152
Ala

27 lipca 2018
Dziena 👍
klasa:
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326708732
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom