Dane:

$m_1=400\text{g}=0,4\text{kg}$

$m_2=800\text{g}=0,8\text{kg}$

$l=0,8\text{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$v_0=?$

$v_k=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie szybkości, z jaką poruszają się kulki przed i po zderzeniu. Wiemy, że przed zderzeniem cięższa kulka pozostaje w spoczynku, więc jej prędkość początkowa wynosi zero. Lżejsza kulka została odchylona o 90 stopni, co oznacza, że znajduje się na wysokości równej długości nitki. Kulka zostaje następnie puszczona i rozpędza się aż do momentu zderzenia.

W trakcie opadania jej energia potencjalna zamienia się na energię kinetyczną. Tuż przed zderzeniem kulka posiada wyłącznie energię kinetyczną. Zgodnie z zasadą zachowania energii, energia potencjalna na początku ruchu jest równa energii kinetycznej na końcu tego ruchu. W związku z tym możemy zapisać:

$E_{k0}=E_{p0}$

gdzie:

$E_{k0}$ - energia kinetyczna przed zderzeniem,

$E_{p0}$ - energia potencjalna na początku ruchu.

Wiemy, że energia potencjalna jest dana wzorem:

$E_p=mgh$

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Jako poziom początkowy przyjmujemy wysokość, na jakiej znajdzie się kulka na wyprostowanym sznurku. Dla lżejszej kulki możemy zapisać:

$E_{p0}=m_{1}gl$

gdzie:

$m_1$ - masa lżejszej kulki,

$l$ - długość nitki, na której zawieszono kulkę.

Energia kinetyczna jest dana wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

Dla lżejszej kulki możemy zapisać:

$E_{k0}=\frac{m_1{v}_0^2}{2}$

gdzie:

$v_0$ - szybkość lżejszej kulki przed zderzeniem.

Podstawiamy to do równania otrzymanego z zasady zachowania energii:

$\frac{m_1{v}_0^2}{2}=m_{1}gl$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na szybkość kulki:

$\frac{m_1{v}_0^2}{2}=m_{1}gl|:m_1$

$\frac{v_0^2}{2}=gl|\cdot 2$

$v_0^2=2gl$

Bierzemy pierwiastek z obu stron równania:

$v_0=\sqrt{2gl}$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$v_0=\sqrt{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,8\text{m}}=\sqrt{16{\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=$

$=4\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Skoro znamy już szybkość kulki przed zderzeniem, możemy przejść do obliczenia szybkości kulek po zderzeniu. Mamy do czynienia ze zderzeniem idealnie niesprężystym, w którym zachowany jest jedynie pęd. W takim zderzeniu kulki sklejają się i poruszają razem po zderzeniu. Wiemy, że wartość pędu wyraża się wzorem:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu.

Korzystając z powyższego wzoru, możemy zapisać wyrażenie na wartość pędu lżejszej kulki przed zderzeniem:

$p_0=m_1{v}_0$

gdzie:

$p_0$ - wartość pędu kulki przed zderzeniem.

Druga kulka przed zderzeniem się nie porusza, więc nie posiada pędu. W związku z tym pęd lżejszej kulki jest pędem całkowitym układu przed zderzeniem. 

Kulki po zderzeniu będą poruszały się razem, więc możemy traktować je jako jedno ciało masie równej sumie mas obu kulek. W związku z tym możemy zapisać:

$p_1=\left(m_1+m_2\right)v_k$

gdzie:

$m_2$ - masa cięższej kulki,

$v_k$ - szybkość końcowa kulek.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu możemy zapisać:

$p_1=p_0$

$\left(m_1+m_2\right)v_k=m_1{v}_0$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na szybkość sklejonych kulek:

$\left(m_1+m_2\right)v_k=m_1{v}_0|:\left(m_1+m_2\right)$

$v_k=\frac{m_1}{m_1+m_2}{v}_0$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$v_k=\frac{0,4\text{kg}}{0,4\text{kg}+0,8\text{kg}}\cdot 4\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{0,4\cancel{\text{kg}}}{1,2\cancel{\text{kg}}}\cdot 4\frac{\text{m}}{\text{s}}=\frac{4}{3}\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Przed zderzeniem lżejsza kulka poruszała się z szybkością $4\frac{\text{m}}{\text{s}}$, a cięższa spoczywała, czyli miała zerową szybkość. Po zderzeniu obie kulki poruszały się razem z szybkością $\frac{4}{3}\frac{\text{m}}{\text{s}}$.