Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$\alpha ={45}^{\circ }$  

$\mu =0,08$  

$m=32kg$  

Przyjmujemy, że:

$g=9,81\frac{m}{s^2}$  

Wykonujemy rysunek pomocniczy:

gdzie F jest siłą z jaką ciągnięte są sanki, T jest siłą tarcia sanek o podłoże, F_g jest siłą ciężkości sanek, N jest siłą nacisku sanek na podłoże. Siła z jaką ciągnięte są sanki rozkłada się na dwie składowe: składową równoległą do równi pochyłej F_|| i składową prostopadłą do równi pochyłej F⊥. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać zależności pomiędzy skłodowymi siły z jaką ciągnięte są sanki, a siłą z jaką ciągnięt są sanki:

$\sin \alpha =\frac{F_{\perp }}{F}\Rightarrow F_{\perp }=F\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F}\Rightarrow F_{\mid \mid }=F\cos \alpha$  

 

$a)$  

Zapiszmy równanie sił działających na sanki, aby poruszały się ruchem jednostajnym:

$F_{\mid \mid }=T$  

Siłę tarcia przedstawiamy wzorem:

$T=\mu N$  

gdzie μ jest współczynnikiem tarcia, N jest siłą nacisku sanek na podłoże. W naszym przypadku siła nacisku sanek na podłoże jest wypadkową siły ciężkości i składowej prostopadłej siły z jaką ciągnięte są sanki:

$N=F_g-F_{\perp }$  

Siłę ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie m jest masą, g jest przyspieszeniem ziemskim. Korzystając z równania sił działających na sanki obliczmy wartość siły z jaką sanki są ciągnięte:

$F_{\mid \mid }=T$  

$F_{\mid \mid }=\mu N$  

$F_{\mid \mid }=\mu \left(F_g-F_{\perp }\right)$  

$F_{\mid \mid }=\mu F_g-\mu F_{\perp }\mid +\mu F_{\perp }$  

  $F_{\mid \mid }+\mu F_{\perp }=\mu F_g$  

$F\cos \alpha +\mu F\sin \alpha =\mu mg$  

$F\left(\cos \alpha +\mu \sin \alpha \right)=\mu mg\mid :\left(\cos \alpha +\mu \sin \alpha \right)$  

$F=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F=\frac{0,08\cdot 32kg\cdot 9,81\frac{m}{s^2}}{\cos {45}^{\circ }+0,08\cdot \sin {45}^{\circ }}=\frac{25,1136kg\cdot \frac{m}{s^2}}{0,7071+0,08\cdot 0,7071}=\frac{25,1136N}{0,7071+0,056568}=\frac{25,1136N}{0,7636668}=$    

$=32,88554642N\approx 32,9N$  

 

$b)$  

W zadaniu podaną mamy drogę, na której wykonujemy pracę:

$s=300m$  

Korzystamy z wzoru na pracę:

$W=F\cdot s$  

gdzie W jest pracą wykonaną przez siłę F na odcinku o długości s. Dla naszego przypadku:

$F=F_{\mid \mid }$  

Wówczas otrzymujemy, że praca wykonana przy ciągnięciu sanek z dzieckiem będzie miała postać:

$W=F_{\mid \mid }\cdot s$  

$W=F\cos \alpha \cdot s$  

$W=Fs\cos \alpha$  

$W=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }s\cos \alpha$  

$W=\mu mgs\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=0,08\cdot 32kg\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot 300m\cdot \frac{\cos {45}^{\circ }}{\cos {45}^{\circ }+0,08\cdot \sin {45}^{\circ }}=7534,08kg\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot \frac{0,7071}{0,7071+0,08\cdot 0,7071}=$  

$=7534,08J\cdot \frac{0,7071}{0,7071+0,056568}=7534,08J\cdot \frac{0,7071}{0,763668}\approx 7534,08J\cdot 0,9259=$  

$=6975,804672J\approx 6980J=6,98kJ$