Dane:

$m_0=5\mathrm{mg}$

$m=0,3\mathrm{mg}$

$t=10\text{lat}$

Szukane:

$t_{\frac{1}{2}}$ - czas połowicznego rozpadu

Obliczenia:

W celu obliczenia okresu półtrwania korzystamy z poniższego wzoru:

$m=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}$    

$m=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}\mid :m_0$  

$\frac{m}{m_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}\mid {\log }_{\frac{1}{2}}$    

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)=\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}\mid \cdot t_{\frac{1}{2}}$   

$t_{\frac{1}{2}}\cdot {\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)=t\mid :{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)$   

$t_{\frac{1}{2}}=t:{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)$   

Najpierw obliczamy logarytm - w tablicach mamy logarytm dziesiętny, dlatego zamienimy podstawę naszego logarytmu z $\frac{1}{2}$ na 10:

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: 

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$   

 

Wstawiamy $m$   i $m_0$   , a wartości logarytmów dziesiętnych odczytujemy z tablic:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{0,3}{5}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3}{50}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(0,06\right)=$  

$=\frac{\log \left(0,06\right)}{\log \left(\frac{1}{2}\right)}\approx \frac{-1,222}{-0,301}\approx 4,0598$   

Wstawiamy wartość obliczonego logarytmu do wzoru na   $t_{\frac{1}{2}}$ :

$t_{\frac{1}{2}}=t:{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{m}{m_0}\right)\approx 10:4,0598\approx 2,46\mathrm{lat}$

 

Odpowiedź: Okres półtrwania izotopu wynosi 2,46 lat.

Uwaga!: w tym zadaniu mogą wystąpić rozbieżności w wyniku, z powodu różnych przybliżeń.