W pierwszej kolejności liczymy masę promieniotwórczego izotopu w próbce początkowej:

$40g-100\%$  

$xg-80\%$  

$x=\frac{40g\cdot 80\%}{100\%}=32g$  

Skoro po 690 dni całkowita masa polonu w próbce była równa 9 g, to masa izotopu polonu-210, który uległ rozpadowi była równa:

$m_{{}_{}^{}{}_{}^{210}\mathrm{Po}\text{rozpadnięta}}=40\mathrm{g}-9\mathrm{g}=31\mathrm{g}$

Znając początkową masę promieniotwórczego izotopu, obliczmy ile gramów pozostało po 690 dniach:

$m_{{}_{}^{}{}_{}^{210}\mathrm{Po}\text{pozostała}}=32\mathrm{g}-31\mathrm{g}=1\mathrm{g}$

Korzystamy ze wzoru:

$m=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$  

gdzie:

m - masa próbki po czasie t

m₀ - początkowa masa próbki

T_1/2 - okres połowicznego rozpadu

 

$m_0=32\text{g}$  

$m=1\text{g}$  

$t=690\text{dni}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$1=32\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{690}{T_{\frac{1}{2}}}}$  

$\frac{1}{32}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{690}{T_{\frac{1}{2}}}}$   

${\left(\frac{1}{2}\right)}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{690}{T_{\frac{1}{2}}}}$

$5=\frac{690}{T_{\frac{1}{2}}}$

$T_{\frac{1}{2}}=\frac{690}{5}=138\text{dni}$

 

Odpowiedź. Czas połowicznego rozpadu izotopu polonu-210 wynosi 138 dni.