Autorzy:Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2013
W stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku a4.83 gwiazdek na podstawie 6 opinii

W stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku a

11Zadanie
12Zadanie

Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku a. Z tego wynika, że tworząca stożka ma długość a, a promień jest równy `a/2`. Z tw. Pitagorasa widzimy, że wysokość jest równa `h=sqrt(a^2-a^2/4)=asqrt(3)/2`. Objętość stożka wynosi:

`V_1=1/3*Pi*(a/2)^2*asqrt3/2=(Pia^3sqrt3)/24`

Przekrój osiowy kuli wpisanej w stożek jest kołem wpisanym w trójkąt równoboczny, czyli przekrój osiowy stożka. Promień kuli wynosi zatem `1/3` wysokości trójkąta równobocznego, czyli `1/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/6`. Objętość kuli jest równa:

`V_2=4/3Pir^3=4/3Pi*((asqrt3)/6)^3=4/3Pi*(a^3*3sqrt3)/216=` `4/3Pi*(a^3*sqrt3/72)=` `(Pia^3*sqrt3)/54`

Różnica objętości wynosi:

`V_1-V_2=(Pia^3sqrt3)/24-(Pia^3sqrt3)/54=Pia^3(sqrt3/24-sqrt3/54)=` `Pia^3((9sqrt3)/216-(4sqrt3)/216)=(5sqrt3Pia^3)/216`

Odpowiedź:

Prawdziwe są odpowiedzi C i D.