Autorzy:Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2015
Suma (n-1)² + n² + ...4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Podstawmy kilka pierwszych dodatnich liczb naturalnych do podanego wyrażenia.

Dla n=1:

`(1-1)^2+1^2+(1+1)^2=0^2+1+2^2=0+1+4=5` 

Dla n=2:

`(2-1)^2+2^2+(2+1)^2=1^2+4+3^2=1+4+9=14` 

Dla n=3:

`(3-1)^2+3^2+(3+1)^2=2^2+9+4^2=4+9+16=29` 

 

Podstawiając do wyrażenia kolejne dodatnie liczby naturalne otrzymujemy zarówno liczby parzyste, jak i nieparzyste.

Dla n=1, n=2 oraz n=3 otrzymane wyniki nie są liczbami podzielnymi przez 3, więc nie dla każdego dodatniego naturalnego n, otrzymujemy liczbę, która jest podzielna przez 3.

Dla n=1, n=2 oraz n=3 otrzymane wyniki są większe od 4. 

 

Sprawdźmy, czy dla każdego dodatniego nN zadana suma jest większa od 4.

Rozpiszmy składniki sumy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

`(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=3n^2+2` 

Zakładamy, że nN+ .Zastanawiamy się czy zadana suma jest większa od 4.

`3n^2+2>4` 

`3n^2>2` 

`n^2>2/3` 

 

Ostatnia nierówność jest spełnona dla dowolnego nN+, więc dla takich n spełniona jest również pierwsza nierówność: 3n2+2>4.

Stąd suma (n-1)2+n2+(n+1)2 jest dla każdego nN+ liczbą większą od 4.

Odp: D