Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Uzasadnij, że różnica kwadratów 5.0 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Zauważmy najpierw, że liczba postaci ab ma wartość 10a+b (np. 23=2∙10+3). Stąd możemy oznaczyć te liczby jako ab i ba, więc ich wartości wynoszą odpowiednio 10a+b oraz 10b+a (a, b to pewne cyfry).

Założmy, że a>b, wtedy liczba 10a+b jest większa od liczby 10b+a.

 

Obliczmy, ile wynosi różnica kwadratów tych liczb (od większej odejmujemy mniejszą). Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. 

`(10a+b)^2-(10b+a)^2=[(10a+b)-(10b+a)]*[(10a+b)+(10b+a)]=` 

`=[10a+b-10b-a]*[10a+b+10b+a]=(9a-9b)*(11a+11b)=`  

`=9(a-b)*11(a+b)=9*11(a-b)(a+b)=`  

Otrzymana suma jest podzielna przez 9 i 11, ponieważ udało się ją zapisać jako iloczyn 9 i pewnej liczby naturalnej (ta liczba to 11(a-b)(a+b) - jest to liczba naturalna, ponieważ a oraz b są liczbami naturalnymi, założyliśmy na początku, że a>b) oraz jako iloczyn 11 i pewnej liczby naturalnej ((ta liczba to 9(a-b)(a+b) - jest to liczba naturalna, ponieważ a oraz b są liczbami naturalnymi, założyliśmy na początku, że a>b).