Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Uzasadnij, że jeżeli 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii

`"założenia:"\ \ \ a+b+c=0`  

`"teza:"\ \ \ ab+bc+ca<=0` 

`"dowód:"` 

Jeśli suma liczb a, b, c jest równa 0, to kwadrat sumy tych liczb także musi być równy 0. 

`a+b+c=0\ \ \ =>\ \ \ (a+b+c)^2=0` 

 

Wykonajmy podnoszenie do kwadratu:

`(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=` 

`=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac` 

 

 

Wartość powyższego wyrażenia jest równa 0:

`a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0` 

Możemy zapisać równość w postaci równoważnej:

`2ab+2bc+2ac=-(a^2+b^2+c^2)\ \ \ \ |:2` 

`ab+bc+ac=-1/2(a^2+b^2+c^2)` 

 

Suma kwadratów liczb a, b, c na pewno jest liczbą nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Po pomnożeniu sumy kwadratów liczb  a, b, c przez ujemną liczbę -1/2 otrzymamy liczbę niedodatnią.

`ab+bc+ac=#underbrace(-1/2#underbrace((a^2+b^2+c^2))_(>=0))_(<=0)` 

Udowodniliśmy żądaną nierówność.