Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Przeczytaj podany w ramce przykład 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii

Przeczytaj podany w ramce przykład

9Zadanie
10Zadanie
11Zadanie
1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie

`a)` 

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

`a=2sqrt3+sqrt2` 

jest wymierna. Wtedy:

`a-sqrt2=2sqrt3` 

stąd otrzymujemy kolejno:

`(a-sqrt2)^2=(2sqrt3)^2` 

`a^2-2asqrt2+sqrt2^2=2^2*sqrt3^2` 

`a^2-2asqrt2+2=4*3`  

`a^2-2asqrt2+2=12\ \ \ |-2` 

`a^2-2asqrt2=10\ \ \ \ |-a^2` 

`-2asqrt2=10-a^2\ \ \ \ |:(-2a)ne0` 

`sqrt2=(a^2-10)/(2a)` 

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √2 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc 2√3+√2 jest liczbą niewymierną.

 

 

 

`b)` 

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

`a=sqrt3-sqrt2` 

jest wymierna. Wtedy:

`a+sqrt2=sqrt3` 

stąd otrzymujemy kolejno:

`(a+sqrt2)^2=sqrt3^2` 

`a^2+2asqrt2+2=3\ \ \ |-2-a^2` 

`2asqrt2=1-a^2\ \ \ \ |:(2a)ne0` 

`sqrt2=(1-a^2)/(2a)` 

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √2 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc √3-√2 jest liczbą niewymierną.

 

 

`c)` 

Przypuśćmy przeciwnie, że liczba:

`a=sqrt2+sqrt3+sqrt5` 

jest wymierna. Wtedy:

`a-sqrt5=sqrt2+sqrt3`  

stąd otrzymujemy kolejno:

`(a-sqrt5)^2=(sqrt2+sqrt3)^2` 

`a^2-2asqrt5+5=2+2sqrt6+3` 

`a^2-2asqrt5+5=2sqrt6+5\ \ \ \ |-5` 

`a^2-2asqrt5=2sqrt6\ \ \ \ \|^2` 

`(a^2-2asqrt5)^2=(2sqrt6)^2` 

`a^4-4a^3sqrt5+4a^2*5=4*6` 

`a^4-4a^3sqrt5+20a^2=24` 

`-4a^3sqrt5=24-a^4-20a^2\ \ \ \ |:(-4a^3)ne0`  

`sqrt5=(24-a^4-20a^2)/(-4a^3)` 

Przy założeniu, że a jest liczbą wymierną, prawa strona równości jest także liczbą wymierną z czego wynika, że √5 jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc √2+√3+√5 jest liczbą niewymierną.