Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Uzasadnij, że nierówność zachodzi dla każdej 4.17 gwiazdek na podstawie 6 opinii

`a)` 

Rozpiszmy lewą stronę nierówności:

`root(3)((125x^6)/64)-sqrt((9x^4)/8)=root(3)(((5x^2)/4)^3)-sqrt(9x^4)/sqrt8=(5x^2)/4-(3x^2)/(sqrt4*sqrt2)=(5x^2)/4-(3x^2)/(2sqrt2)=` 

`=(5x^2)/4-(3sqrt2x^2)/(2*sqrt2*sqrt2)=(5x^2)/4-(3sqrt2x^2)/4=((5-3sqrt2)x^2)/4=(5-3sqrt2)/4x^2` 

Współczynnik stojący przy xjest dodatni, ponieważ:

`(5-3sqrt2)/4=(sqrt25-sqrt9*sqrt2)/4=(sqrt25-sqrt18)/4>0\ \ \ ("bo"\ 25-18>0,\ \ "czyli"\ \ sqrt25-sqt18>0)` 

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:

`x^2>=0` 

Jeśli pomnożymy powyższą nierówność przez współczynnik dodatni, to kierunek nierówności nie zmieni się:

`x^2>=0\ \ \ \ |*(5-3sqrt2)/4>0`  

`(5-3sqrt2)/4x^2>=0` 

Nierówność została wykazana - zachodzi dla dowolnej liczy rzeczywistej x. 

 

 

 

`b)` 

Nierówność podana w treści zadania jest równoważna następującej nierówności:

`root(3)((64x^12)/27)-sqrt(0,01x^8)-(2sqrt3)/3x^4>=0` 

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

`root(3)((64x^12)/27)-sqrt(0,01x^8)-(2sqrt3)/3x^4=root(3)(((4x^4)/3)^3)-sqrt((0,1x^4)^2)-(2sqrt3)/3x^4=` 

`=(4x^4)/3-0,1x^4-(2sqrt3)/3x^4=4/3x^4-1/10x^4-(2sqrt3)/3x^4=` 

`=(4/3-1/10-(2sqrt3)/3)x^4=(40/30-3/30-(20sqrt3)/30)x^4=`  

`=((37-20sqrt3)/30)x^4`     

     

Współczynnik stojący przy x4 jest dodatni, ponieważ:

`(37-20sqrt3)/30~~(37-20*1,73)/30=(37-34,6)/30>0` 

 

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:

`x^2>=0` 

Jeśli liczbę nieujemną ponownie podniesiemy do kwadratu, to uzyskamy liczbę nieujemną:

`(x^2)^2>=0` 

`x^4>=0` 

 

Jeśli pomnożymy powyższą nierówność przez współczynnik dodatni, to kierunek nierówności nie zmieni się:

`x^4>=0\ \ \ \ \ |*(37-20sqrt3)/30>0` 

`(37-20sqrt3)/30x^4>=0` 

Nierówność została wykazana - zachodzi dla dowolnej liczy rzeczywistej x.