Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

2Zadanie
3Zadanie

`a)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x-2y=4\ \ \ \ |*(-1)), (3x-y=5):}` 

`{(-3x+2y=-4) , (3x-y=5):}\ \ \ \ |+` 

`y=1` 

Podstawiamy do drugiego równania ostatniego układu:

`3x-1=5\ \ \ \ |+1` 

`3x=6\ \ \ \ |:3` 

`x=2` 

 

`{(x=2), (y=1):}` 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

Przekształcamy każde równanie do postaci kierunkowej: 

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3x-y=5\ \ \ |-3x):}` 

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-y=-3x+5\ \ \ |*(-1)):}` 

`{(y=3/2x-2), (y=3x-5):}` 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

`y=3/2x-2` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1` 

 

 

`y=3x-5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-5=0-5=-5` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-5=3-5=-2` 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu: 

`{(x=2), (y=1):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))) ` 

 

 

 

`b)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x-2y=4), (3/2x-y=2\ \ \ \ |*(-2)):}` 

`{(3x-2y=4), (-3x+2y=-4):}\ \ \ \ |+` 

`0=0` 

Otrzymaliśmy równość zawsze prawdziwą, co oznacza, że układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia je każda para liczb taka, że:

`{(3/2x-y=2\ \ \ \ |-3/2x), (x in RR):}` 

`{(-y=-3/2x+2\ \ \ |*(-1)), (x in RR):}` 

`{(y=3/2x-2), (x in RR):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3/2x-y=2\ \ \ \|-3/2x):}` 

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-y=-3/2x+2\ \ \ |*(-1)):}` 

`{(y=3/2x-2), (y=3/2x-2):}` 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1` 

  

Rozwiązaniem układu są wszystkie pary liczb takie, że:

`{(y=3/2x-2) , (x in RR):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

`c)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x-2y=4\ \ \ |*(-1)), (3x-2y=5):}` 

`{(-3x+2y=-4) , (3x-2y=5):}\ \ \ \ |+` 

`0=1` 

Równość jest nieprawdziwa, co oznacza, że ten układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3x-2y=5\ \ \ \|-3x):}` 

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-2y=-3x+5\ \ \ |:(-2)):}` 

`{(y=3/2x-2) , (y=3/2x-5/2):}` 

 

`y=3/2x-2` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1` 

 

 

`y=3/2x-5/2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*(-1)+5/2=-3/2-5/2=-8/2=-4` 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania.