Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Wyznacz równania prostych zawierających 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Wyznacz równania prostych zawierających

75Zadanie
76Zadanie
77Zadanie
78Zadanie
79Zadanie
80Zadanie

`a)` 

Równania prostych AB, CD, EF, GO odczytujemy z rysunku:  

`"prosta AB:"\ \ \ y=-1` 

`"prosta CD:"\ \ \ x=5` 

`"prosta EF:"\ \ \ y=3` 

`"prosta GO:"\ \ \ x=0` 

 

Zapiszmy współrzędne punktów A, B, C, D, E, F, G, O:

`A=(2;\ -1)\ \ \ \ \ B=(3;\ -1)\ \ \ \ \ C=(5;\ 0)\ \ \ \ \ D=(5;\ 2)\ \ \ \ \ E=(3;\ 3)\ \ \ \ \ F=(2;\ 3)\ \ \ \ \ G=(0;\ 2)\ \ \ \ \ O=(0;\ 0)` 

 

Równania prostych OA, BC, DE, FG wyznaczymy, podstawiając do równania prostej y=ax+b współrzędne odpowiednich punktów: 

Wyznaczamy równanie prostej OA, korzystając ze współrzędnych punktów O i A: 

`{(0=a*0+b), (-1=a*2+b):}` 

`{(b=0),(-1=2a\ \ \ |:2):}` 

`{(b=0), (a=-1/2):}` 

`"prosta OA:"\ \ \ y=-1/2x` 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BC, korzystając ze współrzędnych punktów B oraz C: 

`{(-1=a*3+b), (0=a*5+b\ \ \ |-5a):}` 

`{(-1=3a+b), (b=-5a):}` 

`{(-1=3a+(-5a)), (b=-5a):}` 

`{(-1=-2a\ \ \ |:(-2)), (b=-5a):}` 

`{(a=1/2), (b=-5*1/2=-5/2):}` 

`"prosta BC:"\ \ \ y=1/2x-5/2` 

 

 

Wyznaczymy równanie prostej DE, korzystając ze współrzędnych punktów D oraz E: 

`{(2=a*5+b\ \ \ |*(-1)), (3=a*3+b):}`  

`{(-2=-5a-b), (3=3a+b):}\ \ \ |+` 

`1=-2a\ \ \ |:(-2)` 

`a=-1/2` 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu: 

`3=3*(-1/2)+b`  

`3=-3/2+b` 

`3=- 1 1/2+b\ \ \ |+1 1/2`   

`b=4 1/2`  

`"prosta DE:"\ \ \ y=-1/2x+4 1/2` 

 

 

Wyznaczymy równanie prostej FG, korzystając ze współrzędnych punktów F oraz G:

`{(3=a*2+b), (0=a*0+b):}` 

`{(3=2a+b), (b=0):}` 

`{(3=2a\ \ \ |:2), (b=0):}` 

`{(a=3/2), (b=0):}` 

`"prosta FG:"\ \ \ y=3/2x` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`b)` 

`mx-y=0\ \ \ |-mx` 

`-y=-mx\ \ \ |*(-1)` 

`y=mx` 

 

Zauważmy, że powyższa prosta przecina oś OY w punkcie (0; 0), ponieważ w jej równaniu nie ma wyrazu wolnego (b=0). Interesują nas więc tylko przekątne wychodzące z punktu O, czyli przekątne: OB, OC, OD, OE, OF. 

Wyznaczmy równania tych prostych. 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OB podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu B: 

`-1=m*3\ \ \ =>\ \ \ m=-1/3` 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OC podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu C: 

`0=m*5\ \ \ =>\ \ \ m=0` 

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OD podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu D: 

`2=m*5\ \ \ =>\ \ \ m=2/5` 

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OE podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu E: 

`3=m*3\ \ \ =>\ \ \ m=3/3=1` 

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OF podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu F: 

`3=m*2\ \ \ =>\ \ \ m=3/2` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(m in {-1/3;\ 0;\ 2/5;\ 1;\ 3/2}))`    

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

Zauważmy, że prosta będzie mieć nieskończenie wiele punktó wspólnych z ośmiokątem, jeśli częścią wspólną prostej i ośmiokąta będzie odcinek. Prosta będzie przechodzić przez punkt (0; 0) - uzasadnialiśmy już w b). Pierwszą "dobrą" sytuacją jest taka, gdy prosta zawiera w sobie odcinek OA:

Wiemy już, że prosta OA ma równanie: 

`y=-1/2x` 

Najmniejszym możliwym parametrem m jest więc m=-½.

`ul(ul(m in<<-1/2;\ +infty))`