Autorzy:Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2016
Oblicz pole powierzchni całkowitej 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Oblicz pole powierzchni całkowitej

11Zadanie
12Zadanie
13Zadanie
14Zadanie

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Oznaczmy długość krawędzi podstawy (czyli długość boku kwadratu) jako a. Wiemy, że wszystkie krawędzie mają jednakową długość, więc każda krawędź boczna także ma długość a. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy: 

 

Zamalowany poniżej trójkąt jest prostokątny. 

Odcinek oznaczony jako x to połowa przekątnej podstawy, czyli połowa przekątnej kwadratu o boku a. Znamy wzór na długość przekątnej kwadratu o boku a, więc możemy zapisać:

`x=1/2*asqrt2=(asqrt2)/2` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: 

`(2sqrt6)^2+((asqrt2)/2)^2=a^2` 

`2^2*sqrt6^2+(a^2*sqrt2^2)/2^2=a^2` 

`4*6+(a^2*strike2^1)/strike4^2=a^2` 

`24+a^2/2=a^2\ \ \ \ |-a^2/2` 

`24=a^2/2\ \ \ \ |*2` 

`a^2=48` 

`a=sqrt48=sqrt16*sqrt3=4sqrt3\ cm` 

 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

`P_p=4sqrt3\ cm*4sqrt3\ cm=4*4*sqrt3*sqrt3\ cm^2=16*3\ cm^2=48\ cm^2` 

 

Na pole powierzchni bocznej składają się pola czterech jednakowych trójkątów równobocznych. Znamy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a, więc możemy zapisać: 

`P_b=strike4^2*(a^2sqrt3)/strike4^2=a^2sqrt3=(4sqrt3\ cm)^2sqrt3=48sqrt3\ cm^2` 

 

Obliczamy objętość ostrosłupa, biorąc trzecią część iloczynu pola podstawy i wysokości:

`V=1/strike3^1*strike48^16\ cm^2*2sqrt6\ cm=32sqrt6\ cm^3` 

 

Obliczamy pole powierzchni ostrosłupa:

`P_c=48\ cm^2+48sqrt3\ cm^2=48(1+sqrt3)\ cm^2`