Autorzy:Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2014
Znajdź wszystkie pary liczb4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii

`x^2-y^2=15` 
`(x-y)(x+y)=15` 

Szukamy takich dwóch liczb, których iloczyn da 15. Takie liczby to 1 i 15 oraz 15 i 1, 3 i 5 oraz 5 i 3. 



a) Rozwiązania mają być liczbami naturalnymi.  

Zapisujemy układy równań, które pozwolą nam wyznaczyć pary liczb, będące rozwiązaniami tego równania. 

`I. \ {(x-y=1),(x+y=15):}` 

`II. \ {(x-y=15),(x+y=1):}` 

`III. \ {(x-y=3),(x+y=5):}` 

`IV. \ {(x-y=5),(x+y=5):}`    


Rozwiązujemy I układ równań
`{(x-y=1),(x+y=15):}` 

`{(x=1+y),(x+y=15):}` 

`(1+y)+y=15` 
`2y+1=15 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`2y=14 \ \ \ \ \ |:2` 
`y=7` 

`{(x=1+y),(y=7):}` 

`x=1+7` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=7):}` 

Liczby 7 i 8 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy II układ równań
`{(x-y=15),(x+y=1):}` 

`{(x=15+y),(x+y=1):}` 

`(15+y)+y=1` 
`15+2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ |-15` 
`2y=-14 \ \ \ \ \ \ |:2` 
`y=-7` 

`{(x=15+y),(y=-7):}` 

`x=15+(-7)` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=-7):}` 

Liczba -7 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -7 i 8 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązujemy III układ równań.  
`{(x-y=3),(x+y=5):}` 

`{(x=3+y),(x+y=5):}` 

`(3+y)+y=5` 
`3+2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`2y=2 \ \ \ \ \ \ \|:2` 
`y=1` 

`{(x=3+y),(y=1):}` 

`x=3+1` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=1):}` 

Liczby 4 i 1 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy IV układ równań
`{(x-y=5),(x+y=3):}` 

`{(x=5+y),(x+y=3):}` 

`(5+y)+y=3` 
`5+2y=3 \ \ \ \ \ \ \ |-5` 
`2y=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`  
`y=-1` 

`{(x=5+y),(y=-1):}` 

`x=5+(-1)` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=-1):}` 

Liczba -1 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -1 i 4 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązaniem równania są pary liczb: 
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rozwiązania mają być liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że rozwiązaniami wszystkich czterech układów równań (rozwiązane w podpunkcie a) są liczby całkowite. 
Każda para rozwiązań jest więc rozwiązaniem równania. 


Rozwiązaniem równania są pary liczb:
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`

`{(x=8),(y=-7):} \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ {(x=4),(y=-1):}`