Autorzy:Jacek Lech, Marek Pisarski , Marcin Braun
Wydawnictwo:GWO
Rok wydania:2015
Znajdź liczbę x, ... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Kwadrat z zadania 14 na stronie 134 ma postać:

Kwadrat ten jest magiczny. Oznacza to, że w suma wyrażeń w każdym wierszu, w każdej kolumnie i po przekątnych, dla odpowiedniego x, jest taka sama, np. suma wyrażeń w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie jest taka sama.

Szukamy takiej wartości x, dla której ten kwadrat jest magiczny.  


Porównujemy np. pierwszy wiersz i pierwszą kolumną, upraszaczmy otrzymane równanie a następnie obliczamy wartość x. 
`x+4x+1+x^2=x+4x-1+3x` 
`x^2+5x+1=8x-1 \ \ \ \ \ \ \ |-8x` 
`x^2-3x+1=-1 \ \ \ \ \ \ \ |+1`  
`x^2-3x+2=0` 
`x^2-x-2x+2=0` 
`x(x-1)-2(x-1)=0` 
`(x-2)(x-1)=0` 

Aby równanie to było równe 0 pierwszy czynnik musi być równy 0 lub drugi czynnik musi być równy zero.
`x-2=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x-1=0`  
`x=2 \ \ \ "lub" \ \ \ x=1`  

Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są równe dla x=2 oraz x=1. 


Sprawdzamy teraz, czy jeśli utworzymy inne równanie będzie ono spełnione również przez liczby 1 i 2. 

Porównujemy teraz np. pierwszą kolumnę i trzeci wiersz. 
`x+4x-1+3x=3x+0,5x+2x+4` 
`8x-1=5,5x+4 \ \ \ \ \ \ \ |-5,5x` 
`2,5x-1=4 \ \ \ \ \ \ \ |+1` 
`2,5x=5 \ \ \ \ \ \ \ |:2,5` 
`x=2` 

Pierwsza kolumna i trzeci wiersz są równe dla x=2.

 

Nie są one równe dla x=1, zatem dla x=1 powyższy kwadrat nie jest magiczny (dowolnie wybrany wiersz i kolumna nie równają się sobie dla x=1).

Oznacza to, że kwadrat jest magiczny tylko dla x=2.  


Upewnijamy się, czy dla x=2 kwadrat jest magiczny porównując np. drugą i trzecią kolumnę. 
`4x+1+x^2+1+0,5x=x^2+x+1+2x+4` 
`x^2+4,5x+2=x^2+3x+5 \ \ \ \ \ \ |-x^2` 
`4,5x+2=3x+5 \ \ \ \ \ \ \ |-3x` 
`1,5x+2=5 \ \ \ \ \ \ \ |-2` 
`1,5x=3 \ \ \ \ \ \ \ |:1,5` 
`x=2` 

Dla x=2 druga i trzecie kolumna są sobie równe. 


Odpowiedź:
Dla x=2 kwadrat jest magiczny.