Autorzy:Praca zbiorowa
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2014
Narysuj figury a) dowolny prostokąt 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Narysuj figury a) dowolny prostokąt

4Zadanie
5Zadanie

 

Prostokąt jest trapezem - ma jedną parę boków równoległych, więc jeśli wykażemy, że I i II zachodzi dla dowolnego prostokąta, to automatycznie zachodzi też dla trapezu (nie musimy przeprowadzać osobnego rozumowania)

 

`I.` 

Punkty D, E, F, G to środki boków prostokąta. Możemy więc oznaczyć długości boków: 

`|AE|=|EB|=|DG|=|GC|=x` 

`|AH|=|HD|=|BF|=|FC|=y` 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości wyznaczonych odcinków na ramionach kąta DAB jest stały:

`|AH|/|AE|=y/x` 

`|AD|/|AB|=(y+y)/(x+x)=(2y)/(2x)=y/x` 

Zatem możemy wnioskować, że odcinek HE jest równoległy do przekątnej BD. 

 

Dokładnie w ten sam sposób uzyskujemy, że odcinek FG jest równoległy do przekątnej BD:

`|CG|/|CF|=x/y=(2x)/(2y)=|CD|/|CB|` 

 

 

Odcinek GH jest równoległy do przekątnej AC, ponieważ: 

`|DH|/|DG|=y/x=(2y)/(2x)=|DA|/|DC|` 

 

 

Odcinek FE jest równoległy do przekątnej AC, ponieważ: 

`|BE|/|BF|=x/y=(2x)/(2y)=|BA|/|BC|` 

 

 

 

`II.` 

Wiemy już, że odcinki EH, BD, FG są równoległe oraz że odcinki GH, CA, FE są równoległe. 

Zatem, korzystając z twierdzenia Talesa, możemy zapisać proporcje: 

`|AH|/|HE|=|AD|/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ y/|HE|=(2y)/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|HE|=2/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |DB|=2|HE|` 

`|CG|/|GF|=|CD|/|DB|,\ \ \ \ "czyli"\ \ \ x/|GF|=(2x)/(|DB|),\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|GF|=2/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |DB|=2|GF|` 

 

`|DG|/|GH|=|DC|/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ x/|GH|=(2x)/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|GH|=2/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |CA|=2|GH|` 

`|BF|/|FE|=|BC|/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ y/|FE|=(2y)/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|FE|=2/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |CA|=2|FE|`